4. Интеграл Фурье. Свойства интеграла Фурье. (пф-преоб-е Фурье, фс-физический смысл)

Интеграл Фурье реализуется на основе рассмотрения комплексного ряда Фурье для бесконечного временного интервала; будем полагать, что сигнал с конечным числом точек разрывов определён для и для него выполняется условие абсолютной интегрируемости

Данные условия являются достаточными для существования преобразования Фурье сигнала

Без потери общности примем временной интервал симметричным пусть этот интервал расширяется

Запишем коэффициенты разложения комплексного ряда Фурье для расширяющегося временного интервала

Подставим выражение в :

.

Устремим обозначим получим в пределе

Сформируем интегралы

Функцию называют интегралом Фурье, или преобразованием Фурье для прямое и обратное преоб-е Фурье. Сигнал представляется как во временной области при традиционном анализе, так и в частотной области в виде непрерывных коэффициентов разложений Фурье

Физический смыслПреоб-е Фурье -предельная функция коэффициентов комплексного ряда Фурье.

Функция в общем случае является комплексной функцией частоты и допускает следующие представления:

где и – действительные и мнимые части; – модуль и фаза преобразования Фурье.

Св-ва:

1. Линейность. Пусть функция представляет собой взвешенную сумму функций для которых заданы их преобразования Фурье преоб-е Фурье для вычисляется как взвешенная сумма преобразований Фурье :

2. Сдвиг Пусть  – масштабирующий множитель, преобразующий функцию в и _-?

Пусть: сделаем подстановку в и выразим через :

3.  СдвигПусть задано преобразование Фурье для функции Введём запаздывание  (сдвиг по времени) для функции сформируем

преобразование Фурье для функции умноженной на сдвигается по частоте

4. Прео-е Фурье от комплексной синусоиды требует предварительного определения -функ­ции.

Импульсной -функцией называется такая функция, которая удовлетворяет следующим двум условиям:

1)  для и для

2)  для любого

Импульсная -функция может рассматриваться как предел обычной функции при Например,

для и для

Для -функции устанавливается важное равенство:

если непрерывна в точке и Данное свойство может быть доказано путём вычисления следующего предела:

С учётом сделанного определения можно записать преобразование Фурье для

ФС: если синусоида определена на интервале, ее энергия бесконечна. След-во в ПФ везде нули.

5. Пусть – преобразование Фурье для функции Найдём выражение для преобразования Фурье для производной Запишем выражение для обратного преобразования Фурье и продифференцируем его:

Из последнего выражения следует, что

Сделав почти аналогичные выкладки, можно записать преобразование Фурье для интеграла от которое будет иметь вид

6. ПФ для симметричного единичного импульса:

,

Едичный импульс симметричен преобразование Фурье является действительной функцией.

7. ПФ для произведения функций – ПФ ( в лекциях расписано)

Изменив порядок интегрирования, с учётом выражения интеграла Фурье для комплексной синусоиды получим

Cy(w)= Преобразование Фурье от произведения функций равняется свёртке преобразований Фурье сомножителей.

5. Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова. Кажущиеся частоты и протимаскировочная фильтрация.

Положим, что задан исходный непрерыв­ный сигнал который является в общем случае комплек­сным и определённым в бесконечных временных пределах. Для данного сигнала производится дискретизация во времени, где T – интервал дискретиза­ции; – дискретные значения непре­рыв­ного сигнала; – частота дискретиза­ции, Гц; – круговая частота дискретизации. При фиксированном временном интервале T, дискретизация осуществляется равномерно для моментов времени Дискретизация может производиться неравномерно для произвольных моментов времени и её результатом служит соответствующая последовательность дискретных значений непрерывного сигнала Здесь будем рассматривать только равномерную дискретизацию во времени; пренебрежём погрешностями, возникающими из-за дискретизации по уровню.

Задача восстановления непрерывного сигнала по его дискретным значениям фактически представляет собой задачу интерполяции. Восстановление сигнала здесь состоит в том, что по бесконечной последовательности дискретных значе­ний сигнала необходи­мо найти значения непрерывного сигнала для промежуточных моментов времени

Пусть исходный сигнал принадлежит к некоторому заданному классу функ­ций; допустим, что можно подобрать, учитывая свойства этого заданного класса функций, соответ­ствую­щие базис­ные функции Сформиру­ем функцию представляющую собой конечную взвешенную сумму базисных функций с весовыми коэффициентами В качестве восстановлен­ного сигнала для примем предел

Задача восстановления может считаться успешно решённой, если будет выполнено равенство

(3.4.1)

Возможность восстановления сигнала по его дискретизованным значениям зависит от частотных свойств сигнала и выбранной частоты дискретизации. Высокая частота дискретизации, очевидно, позволит осуществить восстановление сигнала; для низкой частоты дискретизации восстановление в ряде случаев проблематично.

Появление «кажущихся» частот Неправильно выбранная частота дискретизации, которая не согласована с частотными свойствами сигналов, приводит к появлению так называемых «кажущихся» частотных составляющих. Разберём пример, в котором дискрети­за­ции подвергает­ся непрерывный синусоидальный сигнал вида с периодом На рис.  исходный сигнал изобра­жен сплош­ной линией. Подвергнем исходный непрерывный сигнал дискретизации с частотой – четыре точки дискретизации на один период интервал дискретизации Дискретизованные значения исходного сигнала отмечены чёрными жирными точками для синусоидального сигнала (см. рис. 3.4.1). Уменьшим частоту дискре­тизации, примем её равной период дискретизации эти точки дискрети­зации на графике сигнала отмече­ны кругами на пунктирной линии. В первом случае частота дискрети­зации больше двойной частоты сигнала, дискретизован­ный сигнал воспринимается как сигнал с периодом и его «кажущая­ся» частота совпадает с частотой исходного сигнала . Во втором случае частота дискретизации меньше двойной частоты сигнала, дискретизованный сигнал восприни­мается как сигнал с перио­дом и его кажущаяся частота меньше частоты исходного сигнала Вследствие неудачного выбора частоты дискретизации имеет место очень сильное искажение информа­ции, «кажущаяся» частота сигнала меньше частоты исходного сигнала, что и видно из рис. 3.4.1.

Рассмотрим более детально существо проблемы возникнове­ния «кажущихся» частотных составляющих для дискретной синусоидальной функции Введём частоту Найквиста, равную половине частоты дискретиза­ции, Всегда можно представить где – целое, Учитывая равенство запишем:

Разберем первый пример – частота Найквиста больше частоты сигнала – тогда и справед­ливо: ветствует значению -чай -частота Следует, что и – «кажущаяся» частота совпадает с частотой исходного сигнала. Разберём второй пример – частота Найквиста меньше частоты сигнала – в частном случае положим p четным, при этом и Оказы­вается, что во втором примере «кажущаяся» частота меньше частоты исходно­го сигнала. Данные примеры позволяют сделать заключение, что для совпадения частоты сигнала и «кажущейся» частоты, частота Найквиста должна быть больше частоты дискретизуемого сигнала.

Вследствие неправильного выбора частоты дискрети­зации «кажущиеся» частоты приводят к эффекту маскировки (эффекту наложения частот). Рассмотрим двухчастотный сигнал Допустим, что выбрана частота дискрети­зации таким образом, что выполни­лись условия Расположение частот и частоты Найквиста проиллюстрировано на амплитудном спектре, изображённом на рис. 3.4.2.

Рис. 3.4.2. Амлитудный спектр двухчастотного сигнала

и эффект маскировки

При такой частоте дискретизации, которая определяется положением частоты , первая синусоида восприни­мается с «кажущей­ся» частотой , вторая синусоида воспри­нимается с «кажу­щейся» частотой В данном дискретизованном двухчастотном сигнале появля­ется ложный сигнал с низкой частотой – смещённый в низкочастотную область, который во многих случаях может «маскиро­вать» исходный сигнал, так как . Дискрети­за­ция с такими параметрами может катастро­фически исказить исходный сигнал – спектр высокочастотного сигнала перемеща­ет­ся в низкочастотную область, и наложиться на спектр основного сигнала.