3.4.3. Теорема Котельникова

Установим возможность точного восстановления непрерывных сигналов по их дискретным значениям. В рамках теоремы Котельникова рассматриваются сигналы, принадлежащие к классу сигналов с финит­ным преобразовани­ем Фурье. Сигнал имеет финит­ное преобра­зование Фурье, обозначаемое как если: 1)  для всех частот 2)  тождественно не равно нулю для частот где – верхнее значение частоты сигнала – полоса сигнала. Теорема Котельникова утверждает, что для сигналов с финитным преобразовани­ем Фурье возмож­но точное восста­новление сигнала по дискрет­ным наблюде­ни­ям, если круговая частота дискретиза­ции удовлетво­ряет строгому неравен­ству где – полоса сигнала, Гц,

Представим исходный сигнал на основе обратного преобра­зо­вания Фурье, если – финит­ное преобра­зова­ние Фурье:

Возьмём разложим функцию в комплексный ряд Фурье на данном интервале

(3.4.2)

Учитывая введённое соотношение между величинами и запишем

(3.4.3)

Справед­ливо равен­ство, вытекающее из (3.4.2), (3.4.3), связыва­ющее дискрет­ные значе­ния сигнала и коэффициен­ты фурье-разложе­ния

Подставим коэффициенты фурье-разложения в выражение для из (3.4.2):

(3.4.4)

Подставим выражение (3.4.4) в ( 3.4.3)

Переменим порядок интегрирования и суммирования

Сделаем замену при этом частота дискретизации окажется равной и переобозначим индексы суммирования

Сигнал может быть представлен в виде разложения по базисным функциям с весовыми коэффициентами :

Таким образом, в соответствии с теоремой Котельникова сигнал с финитным преобразованием Фурье с полосой при выборе частоты дискретизации допускает точное восстановление – выполнение равенства (3.4.1).

Противомаскировочные фильтры Устранение эффекта маскировки (наложения) может быть реализовано двумя способами.

1. устранение может быть осуществлено с помощью назначения высокой частоты дискретиза­ции, которую необходимо выбрать таким образом, чтобы её величина была бы более чем в два раза больше, чем значение полосы сигнала.

2. если по некоторым техничес­ким причинам нельзя назначить высокую частоту дискретиза­ции, то исходный непрерывный сигнал, прежде чем подвергнуть дискрети­зации, следует пропустить через аналого­вый низкочас­тотный фильтр с частотой среза и с АЧХ, изображенной на рис. 1.3.6. В отфиль­трован­ном сигнале не должны содержать­ся составля­ющие с частотой выше, чем указанная частота среза Низкочас­тотный фильтр должен отсечь неинфор­мативные (помеховые) высоко­час­тотные состав­ляющие сигнала. Для частоты дискретизации подобным образом отфильтрованного сигнала необходи­мо выполнение неравен­ства

Указанная фильтра­ция называется противомаскиро­вочной, а используемые аналоговые фильтры – противомаскировочными.

6. Стационарные и эргодические сигналы. Оценка моментных характеристик для стационарных эргодических сигналов.

Стационарность случайных cигналов подразумевает неизмен­ность их статистических характеристик во времени. Случайный сигнал называется стационарным в узком смысле, если его n-мерные функции закона распределения вероятностей для группы переменных сдвинутых на время , совпадают и, таким образом, не зависят от времени сдвига

Случайный сигнал является стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени – а его корреляционная (ковариаци­он­ная) функция зависит от разности аргументов –

Стационарный сигнал является эргодическим, если нахожде­ние его статистических характеристик может быть осуществлено усреднением по одной реализации с помощью интегриро­вания на конечном временном интервале длительностью с последу­ющим предельным переходом :

При дискретизации единственной реализа­ции случай­ного стационарного эргодического сигнала N – число наблюдений сигнала, возмож­на запись оценок математического ожидания и дисперсии в следующем виде:

Оценка корреляционной функции представится как функция дискретного аргумен­та m, :