Коэффициент дисконтирования для случая простых процентов:

w 1 dt	w	1
	1 rt

Коэффициент дисконтирования для случая сложных процентов:

w (1 d)n	1
	w
		(1 i)n

первонач. Капитал методом математмического дисконтирования

		S		S
	P (1 i)n		P
				1 rt

первонач. Капитал методом коммерческого дисконтирования

P S(1 dt)

P S(1 d)n

дисконтирование по простой учётной ставке

P S(1 dt)

Наращенная сумма методом простой учетной ставки

S P 1 dt

где

(n – число дней, t – число лет,

m – число начислений в год)

Формула сложных … процентов с неоднократным

начислением в течение года

S P(1 mjm )mt

	b0		при	q 1
S
1 q			b0	или (			q		1)
	Sn				(1 q1 n )
		1 q

q 1 1 b

q 1 1 b

Простой процент

(1

S P(1 bt)

множитель

Сложный процент

S P(1 b)t

bt)

		b t n		t b	et b
lim 1		n		2,72
n			Непрерывный случай
	b n			b
lim 1			2,72 eb
	n
n

Непрерывный случай

множитель				1	n
			lim 1		2,72 (число e)
		t
(1	b)			n
			n
			прошлое
			ebt		будущее

e bt

Формула сложных процентов с неоднократным начислением в

	b ставка за	1	ю года ( рассмпериода).
течение года	m	m			jm
S	P(1					)	mt

m

сложный% за период прост. процентов роста на 1 раз

2,72=1+1,72

2=1+1

1

1 год время

					1			2	2,25
1					2
	1			4			2,44140625
1	4
				1			10
1									2,5937
		10
								1		1	10
														10	2,593
									10			1 o,1
									1 o,o1 100				2,70

1 1000 2,72 e

1 2,7169

1000

	1			1 000 000
1
	1000
			000

	1 n	2,72 (число e)
lim 1
	n
n

			ebt							xn
			ex	1 x
										n!
									n
										1k!
	e e1 1 1 1n!
						1	1		1
			1	1		2	2 3
									2 3 4
		1			10 000
1							2,71815
		10 000

2,7182

12

1 2 3 .. N ... 1

=2

1

=

b	b q	b q2		b q3		b q4	...	b qn
0	0	0			0	0		0
	S b	b q b q2 b q3 b q4 ... b qn b qn 1 ....
	0	0	0	0	0	0	0
	S b (1 q q2			q3	q4	... qn qn 1 ....		)
	0

(1 q q2 q3 q4

при b0 1

... )(

1

0q

0q^2

0q^3

при

итого

(1

q q

2

q

3

q

4

... )(1 q) 1

b0 1

1

S

или1 q q2

1

q3

q4 ...

1 q

q

b0

1

S

S n

q

n 1

b

0

q

1 q

1

Школьные формулы

Sn

b0

(1 q1 n )

1 q

115

2 13 .. 1N ... 1

v

exp( b T)

ln

1

b T

1 b T

b 0,1..

1

1 1 b Tгод

T

b

, если 0,85

Ответ: время .. Т=

0,15

1 год

T

1,01

0,14

1

1

год

год

год

T b1 ln 1

e b T 115

b T ln(511)

11 bT ln( 5 )

111годbT ln( 5 )

b 0,1.. год1

ln(1,01) ~ 0,01 ln(1 ) ~

при 0

11

bT ln( 5 ) 0,8

bT 0,8

T 0,8 / b

1 1 0,8

0,15 год

T	1			0,8 5 лет
	0,15	1
		год

Ответ: перерывы в работе совета директоров не могут превосходить 5 лет

(Т)

ln(1) 0

ln'(1) 1 ln(300) 6

ln(1 x) x ln(10) 2 ln(3) 1

		ln x		ln(1) 0
				ln'(1) 1	ln(1,01) ~ 0,01
						ln(1 ) ~
				x		при				0

---------

++++++

NPV C

0

C1

C2

C3

...

Cn

1 b

(1 b)2

(1 b)3

(1 b)n

NPV (b) C

0

C1

C2

C3

...

Cn

1 b

(1 b)2

(1 b)3

(1 b)n

рентабельность	i : NPV (i) 0

30+2c ++++++	i
20+2b+c

-

40+2d

NPV (i) C0 1C1i (1C2i)2 0

	Задачи финансовой математики
NPV (b) 1								o			3						3	4		1
											(1 o,o7)2						(1 o,o7)3		(1 o,o7)4		(1 o,o7)5
								1 b
1		o		3		3					4		1
																	1 0 2,56 2,48 3,08 0,72 7,84
				1,14		1,21						1,30		1,38
		1 b
																	30+2c
																	20+2b+c

• Посчитать рентабельность

	-
•	40+2d
	Посчитать рентабельность проекта в котором инв. К=500 тыс , через
	d+5 лет получим (1+b/10) млн.
•	Посчитать NPV для проекта С0=-b, C2=d, C3=a, C4=b, C5=c
	процент равен 0,02(a+b+d)

•Сколько денег надо положить на счет, чтобы через d лет иметь (a+b)

	при ставке 0,01(с+d).				- t
•			1 1	e		dt
	Скорость выбытия фондов равна		ставка процента 0,01(а+d)
	1/год, начальная инвестиция 500 тыс $, годовой доход 15(a+b) тыс
	$/год.	4	b год	0

1 e- t

o

• Посчитать рентабельность и NPV
		NPV K F0e-dte bt dt
K F0 e-dt e bt dt K F0	e-(d b)t dt		0

0

0

																		y(x) y(x0 ) y (x0 )(x x0 ) ..
																	Формула Тейлора
											1																													yx			1
																																											2
																													y																	x
																																		x
											o,o6																																				yx (1) 1
										1
o,88 1					0,12 1					2 o,12 o.94																																									2
																																																	1
																																									1 x 1
																	0,88					1																											2 x
																															пример
																						0,12																		1 1 o,2 1.1
																										1					1,2						1 o,2
																																								2
					1										o,97 1 0,o3 1 2 o,03												o.985
									1		1 x																																							1
		1 x																									120 1,2 100 10													1 o,2 1										2	o,2		10 11
	y							1			y (1) 1								1					1 bt
																		1 bt
							1 x 2
		x									x	1
1						1 b												1				0,03 0,97
														1 0,03
1 b
1						1 b							1				1 0,1														y(x) y(0) y (0) x ..
												1 0,1
1 b

t2 t 0

t 2 4

2

t b b2 4ac

2a

?: ax	2	bx c 0	2	2	2ab b	2
			(a b)	a

( x )2 x2 2 2x 2

2

b

c

(x )

2

x

x

a x a 0

x2 2

b

x

c

0

2a

a

2

b

b

2

c

b

2

x

2

x

(

)

(

)

0

2a

2a

a

2a

2

b

b

2

b

2

c

x

2

x

(

)

(

)

2a

2a

2a

a

b

b

c

x

b Д

(x

)2 (

)2

2a

2a

a

2a

x

b

b2

4ac

2a

22x 2

x 2ba (2ba)2 ac x 2ba (2ba)2 ac

	NPV C	0		C1		C2				C3		...		Cn
				1 b		(1 b )(1	b )		(1 b )(1 b )(1		b )		(1 b )(1 b ) .. (1		b )
				1		1	2		1	2	3		1	2	n

	NPV C	0		C1		C2				C3		...		Cn
				1 b		(1 b )(1	b )		(1 b )(1 b )(1		b )		(1 b )(1 b ) .. (1		b )
				1		1	2		1	2	3		1	2	n