pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

ются координаты вершин А, В, С, D вписанного прямоугольника наиболь­ шей возможной длины L. Положение нижнего основания этого прямо­ угольника определяется в зависимости от поведения функции у 2(2 )- Если она монотонно возрастает на отрезке [zKzB], то yD - у А = у 2(гъ). Если же эта функция имеет максимум внутри данного отрезка, как на рис. 11.7, то сто­ рона AD лежит на горизонтальной касательной к кривой y 2(z). В обоих слу­ ч аях ^ = у с = yi(zB). На втором и последующих шагах алгоритма вписыва­ ется новый прямоугольник, имеющий основание меньшей длины, чем пре­ дыдущий. При этом точка Д сместившись влево, займет некоторое по­ ложение D\

	В'	У ^ 2)	С'
		/ 2(*)		С
Z к			~~ -	Z	гг
	— "
				^в	Z
	А '		D'	>п
		y j z )		U

Рис. 11.7. Схема к решению задачи об оптимальной обрезке досок

Как показал анализ, зависимость площади Я вписанного прямо­ угольника от величины его основания при ненулевой кривизне является многоэкстремальной функцией. Поэтому для отыскания значения zD>, соот­ ветствующего максимуму Я, в описываемом алгоритме реализован метод перебора по zD'. На каждом его шаге при некотором zD>= z', вычисляется ордината точки с y z>= yiiz').

Затем для определения аппликат точек В' и A fметодом хорд и каса­ тельных решается уравнение y\{z) = >>i(zr). Если оказалось, что найденное решение z”> z K, то.полагают z B, = z A, = z ” {доску обрезают как со стороны вершинного, так и со стороны комлевого торцов). Если же z n < zK, то

zB>= z A>= zK (доску обрезают только со стороны вершинного торца). Шаг

завершается вычислением площади Я и сравнением ее значения с величи­ ной шах Я, найденной по всем предыдущим шагам. В качестве примера в табл. 11.2 приведены оптимальные размеры обрезных досок, вырабаты­ ваемых из бревен различных диаметров и кривизны, рассчитанные с ис­ пользованием описанного алгоритма.

Эти данные относятся к случаю простой кривизны со следующим дополнительным предположением: максимальное отклонение криволи­

нейной оси бревна от прямой, соединяющей центры его торцевых сечений, имеет место в середине бревна. Поэтому функцию f 2(z) аппроксимировали уравнением параболы (11.47), а функцию//(z) полагали тождественно рав­ ной нулю. Бревна круглого сечения длиной 6 м с образующей вида (11.49).

Величину Xi полагали равной d3/ 2 ^ 2 .

	B9 см	%	Аппликата торцов		Размеры обрезной
	d	к,	обрезной доски, см		доски, см
	диаметр	бревна
	Вершинный	Кривизна		zB	Длина/:	Ширина
					Zb-Z k	Ъ
		0,5	0	468	468	11,34
	14	1,2	24,18	513,26	489,08	8,25
		1,6	56,32	496,71	440,39	7,87
		0,4	0	504	504	13,79
		0,8	39,95	464,86	424,91	13,51
	18	1,2	24,25	511,97	487,72	11,15
		1,6	36,16	515,92	479,76	9,77
		0,6	0	498	498	18,38
	24	1,4	20,84	510,55	489,71	15,36
		1,8	32,23	514,32	482,09	13,98
		0,4	0	552	552	21,96
	30	1,2	25,51	485,92	460,41	21,40
		1,6	18,08	515,30	497,22	19,04
	40	0,6	0	546	546	29,31
		1,0	0	504	504	30,09
		1,6	18,64	499,28	480,64	27,56

Т а б л и ц а 11.2

*		обрезнойосиСмещение	прямойотносительнодоски, торсерединысоединяющей­ см,Дбревнацов
8
ч
«
о _
я™-
со	2
О	Ё
Рч
ю	ё
о t5
из
и
в
о
ё
0,5307			2,06
0,4035			4,87
0,3466			7,06
0,6950			1,29
0,5740			3,70
0,5438			4,88
0,4687			6,57
0,9153			2,031
0,7522			5,69
0,6740			7,38
1,2122			0,71
0,9853			5,22
0,9467			6,40
1,6003			1,18
.,1,5165			3,22
1,3246			6,67

Случаи, при которых zK= 0, означают рекомендацию укорачивать доску только с вершинного торца. Обработка расчетных данных табл. 11.2 и аналогичных им для других значений d Bn к позволила представить их в удобном виде. Так, рассчитаны регрессионные зависимости оптимальных значений ширины b , длины / и смещения А оси доски от вершинного диа­ метра d B= d и кривизны к бревен. Для досок, укорачиваемых только со стороны вершинного торца, и в диапазонах 14 < d, см, < 26; 0 < к %, они имеют вид:

Ь= 1,765+ 0,538^+0,377*:+0,0024/- 0,0407^ + 0,0109^;

/= 456,73 +13,46^- 38,5к - 0,182с/2 + 3,358/t2 - 0,502dk,

А= 0,182- 0,0383с?+ 0,472к + 0,00029d2 + 0,0167к 2- 0,00615dk.

Для досок, укорачиваемых с обоих торцов, ниже приведены регрес­ сионные зависимости для величины zK, zB, b и А, справедливые в тех же диапазонах d и к:

zK= 111,59 - 0,954d - 91,27к + 0,076 Id2+ 56,7к 2- 2,56dt,

ze= 275,06 + 3,54^ + 257,6*- 0,2 Ш 2- 101,38А:2 + 3,37dkr,

b = 7,472 + 0,445*/- 6,95к + 0,0142rf2+ 2,295к 2- 0,168dk;

Д = 1,737 - 0,033й?+ 2,35k + 0,0035d 2+ 1,196*2- 0,086dfc.

Найдено также регрессионное уравнение поверхности, отделяющей область значений d и к, где доски следует укорачивать только с вершинно­ го торца, от области, где их надо торцевать с обеих сторон. К первой из этих областей относятся точки, удовлетворяющие неравенству

к < 0,058 +0,045^-0,00059^2 (для 12<d, см, < 26)

или неравенству

к < - 0,279 +0,0529й?- 0,00034й?2 (для 28<d, см, < 50).

Точки, для которых эти неравенства не удовлетворяются, принад­ лежат второй области. Точность всех приведенных регрессионных зависи­ мостей не хуже 2,5 %.

При малых значениях кривизны для тонкомерных бревен получено аналитическое решение задачи оптимальной обрезки досок. Оказалось, что

если	7^	5 4 1 0 0 %
	к < —.		, то доску следует укорачивать точно так же, как и при
		ф	1 - 4х2

нулевой кривизне. Для этого случая найдены также аналитические выра­ жения для оптимальной ширины b и смещения А доски.

Существенно, что по рассмотренному методу не требуется отдельно измерять размеры необрезной доски. Вся необходимая информация содер­ жится в результатах обмера бревен по способу, изложенному в п. 11.4.4.

Таким образом, применение методов имитационного моделирова­ ния и реализация на ЭВМ численных методов поиска экстремума позволи­ ли впервые решить задачу оптимального раскроя бревен с позиций макси­ мума объемного выхода пиломатериалов в общем случае, без каких-либо ограничивающих предположений о форме бревен и с учетом их возможной кривизны.

На следующем этапе работы имитационной модели определяется сортность полученных пиломатериалов. Для каждого из сучков бревна, сформированных подпро­ граммой описания внутренних пороков, проверяются условия (11.66) - (11.68). Выпол­ нение всех трех условий гарантирует выход данного сучка на соответствующую пласть доски. Аналогично проверкой условий (11.69) - (11.71) отыскиваются все сучки, выхо­ дящие на кромку, лежащую в плоскости у = у . Определяются размеры всех сучков на

354

пластях и кромках досок. Для каждого из них с этой целью вычисляется сумма D полу­ осей эллипса, получающегося в сечении сучка плоскостью х = х или у - у . С учетом

формул (11.62) - (11.65) получаем для эллипса на пласта Dn ={х /с п)(у/сп+\); для эллипса на кромке

А , =(у Ю ( у1с*+ О*

где сп = Vt1 + V2)<‘i2i - 1 ; с« =V(1+T2)'2i - 1 •

Для трещин, не выходящих на боковую поверхность бревна (см. рис. 11.6, а), определяются их размеры на пластях и кромках досок. Рассчитаем сначала глубину трещины. Пусть *м - абсцисса внутренней пласти /-й доски; а - угол между осями

о'х' и ох; ух - ордината кромки, т. е. половина ширины доски (рис. 11.8). Тогда cos а = Гп . Уравнение оси трещины в плоскости хоу запишем в виде у = for, где

k = tga = ^ l - t f j t u .
Ордината точки пересечения оси трещины с пластью х -	: у = forM . Первое
проверяемое условие имеет вид |forM| < |jy,|, или
0~*i2i)*m < (^ /* 11) •	(11.81)

Если условие (11.81) не выполняется, то для сердцевинной доски проверяется условие выхода трещины в кромку: asina > |д>,| или а ф - 1ft > | y t\. Если оно вьшолня-

ется, то эта сердцевинная доска четвертого сорта. Если это условие не выполняется, то доска третьего сорта - сердцевинная доска с трещиной, по ГОСТу.

Рис. 11.8. Схема к расчету размеров трещин в пиломатериалах

Если эта доска не сердцевинная, значит, она без трещин. В этом случае органи­ зуется переход к анализу следующей доски.

Если условие (11.81) выполняется, то проверяется, доходит ли трещина до дан­ ной доски, т. е. условие а > -fizL , или

а *11 >ta-

G l.82)

Начало 3

Рис. 11.9. Схема алгоритма расчета размеров трещин

Если условие (11.82) не выполняется, то сердцевинной доске присваивается третий сорт, если доска не сердцевинная, то она без трещины.

Дальнейший ход алгоритма ясен из схемы (рис. 11.9). Отметим, что определе­ ние сорта доски для блока в нижней части схемы производится согласно табл. 11.3.

Аналогичные идеи положены в основу построения алгоритмов моделирования боковых трещин в бревнах, а также ядровой и заболонной гнили.

						Т а б л и ц а 11.3
	Размер трещины, доли			Сорт
	размеров доски	Отборный	1	2	3	4
	Допускаемая глубина,	1/6	1/5	1/4	1/3
	доли толщины					Трещины до­
	Допускаемая длина,	1/6	1/4	1/3	1/2	пускаются
	доли длины

11.4.9. Исследования процессовраскроя пиловочного сырья на имитационной модели

Рассмотрим методику проведения и результаты отсеивающего эксперимента, поставленного на имитационной модели и включающего семь варьируемых факторов: Х\ - число сучков на поверхности бревна; Х2 - тип бревен; Хз - средний диаметр суч­ ков, выходящих на поверхность бревен; Х4 - кривизна бревен; Х5 - двугранный угол, в

котором преимущественно концентрируются сучки, ребро угла совпадает с осью oz, а величина его равна среднему квадратическому отклонению случайной величины Р;

Х 6 = 5 - направление преимущественной концентрации сучков в плоскости перпенди­

кулярной к оси бревна; Х-/ = 0 - угол между плоскостью, в которой находится криволи­ нейная ось бревна, и горизонтальной плоскостью xoz. Изменение угла 9 соответствует различной ориентации криволинейного бревна относительно продольной его оси при подаче в лесопильную раму первого ряда. При 0 = 0° бревно подается выпуклой частью вправо, при 0 = 90° - выпуклой частью вверх. В качестве откликов регистрировались объемный и ценностный выход пиломатериалов.

Модели бревен, подвергаемых распиливанию, формировались из моделей хлы­ стов различных размеров и имели вершинный диаметр 22 см. Применяемый постав: 1-й

проход - брус 1x125 мм; 2x19 мм; 2x19 мм; 2-й проход - 2x32 мм; 2x32 мм; 2х 19 мм.

Данные относительно распределения пороков, заложенные в ЭВМ, соответст­ вуют древесине сосны европейской части России. Помимо своей научной значимости такой эксперимент, заведомо не осуществимый на практике, хорошо демонстрирует возможности имитационной модели, а заодно и является для нее серьезным испытани­ ем. При проведении рассматриваемых ниже экспериментов значения длины и ширины досок, полученных в результате раскроя бревен, не округлялись до номинальных зна­ чений. Это позволило увеличить чувствительность модели к изменению варьируемых факторов без существенных изменений значений откликов.

Приведем диапазоны варьирования факторов. Фактор Х\ варьируется в преде­ лах 5<Х^ <55 сучков. Ф актора является качественным. Его наименьшее нормализо­ ванное значение х2 = -1 соответствует комлевым бревнам; основной уровень х2 = 0 - срединным, а наибольшее значение х3 = +1 - вершинным бревнам.

При расшифровании регрессионной модели здесь следует иметь в виду два об­ стоятельства: 1) тип бревна связан с его сбегом; для моделей бревен в данном экспери­

менте сбег примерно равен 0,8 см/м для комлевых, 0,9 см/м для срединных и 1 см/м для вершинных бревен; 2 ) в зависимости от типа бревна различно отношение т числа суч­ ков, выходящих на поверхность бревна, к общему числу сучков, включая заросшие. В эксперименте величина т приблизительно равна 0,2 для комлевых; 0,575 для средин­ ных и 0,95 для вершинных бревен.

Из сказанного ясно, что при переходе от нормализованных к натуральным фак­ торам для фактора Х2 возможны два представления. Его можно трактовать как сбег, и

тогда х2 = { Х 2 - 0,9) / 0,1. Очевидно, что только это представление может быть исполь­ зовано при рассмотрении в качестве отклика объемного выхода пиломатериалов. Кроме

того, фактор Х2 можно отождествить с отношением я*. В этом случае х 2 = (Х 2 -

-0,575)/0,375 . Оба представления можно использовать при исследовании влияния варьируемых факторов на ценностный выход пиломатериалов. Диапазоны варьирова­ ния остальных факторов: 10 < хз, мм, <50; 0< Х 4, %, < 1,5; 20 < Х $ <360; 0< X g <90,

0< X f <90.

В экспериментах, поставленных на ЭВМ, нет смысла жестко ограничивать число поставленных опытов. Поэтому, чтобы не прибегать к трудоемкой обработке данных по методу случайного баланса, была реализована Ул - реплика дробного фак­ торного плана 21~2 с обобщающим контрастом 1 = х\ х2 хз х$ = х\ х2 хз х4 хв xj = Х4 Х 5 х

х хв х-]. В этом плане все линейные эффекты освобождены от совместных оценок с пар­ ными взаимодействиями. Для самих же парных взаимодействий имеет место следую­ щая система смешивания:

х\ Х5 = х2 хз; х2 х$ = х\ хз; хз Х5 = х\ х2; Х4 Х5 = хе х7\ Х5 Хб = Х4 x-i\ Х4Х6 = Х5Х7.

В каждом запланированном опыте имитировалось распиливание 10 бревен. Весь эксперимент, таким образом, моделировал распиливание 320 бревен. Результаты его - это значения объемного у 0ь и ценностного у пвыхода пиломатериалов.

Регрессионная модель для у 0б, полученная по результатам обработки экспери­ ментальных данных, содержит, разумеется, только факторы х2, Х4, х-j и их взаимодейст­

вия. В нормализованных обозначениях она имеет вид
У06103 = 161 + 3,75X2-23,1X4+ 3 ,8x7 + 1,4X2X4-0,25X2X7+ 3 ,8x4 Х7.	(11.83)
Для отклика^ получена следующая регрессионная модель:
J V 1 0 3 =265-15,3 х, +14,2х2 -1 8 ,2 х 3 -3 7 ,3 х 4 -39,1 х 5 +12,5х6 +
+ 8 х7 -12,2 х ,х2 +4,2х!х3 + 2 ,3 xjX4 +l,9xjx6 +1,5х!х7 -13,8х2х3 +1,6х2х4 -
- 1 ,6 х2хб + 0,1 x2 x-j +0,37х3х4 +3,2х3х6 +0,7х3х7 +13,2х4х5 +
+ 0,4х4х6 -2 ,8 х 4х7.	(11.84)

Расположение факторов в порядке убывания степени их влияния на ценност­ ный выход пиломатериалов имеет следующий вид: Х 5, Х4, Х 3, Х \, Х 2у Х^ Х-/. Важнейшие взаимодействия факторов: Х\Х$ = Х2 Х 3 \Х 4 Х 5 =XeX-i, Х\ Х2 = Х 3 Х 5. Таким образом, наи­ более сильное влияние на ценностный выход оказывает фактор Х$, характеризующий неравномерность распределения сучков по поверхности бревна в плоскости перпенди­ кулярной к его оси. Этот же фактор вошел во все наиболее значимые эффекты взаимо­ действия. На объемный выход влияют в первую очередь кривизна Хл, затем угол 0 Х 7 и тип бревна Х 2.

Важнейшие факторыX \t...y Xs были включены в следующий этап исследования с целью построения регрессионной модели второго порядка. Был поставлен план В$ с

полным факторным планом в ортогональной части, содержащий 42 основных опыта. Применяемый постав, число дублированных опытов и диапазоны варьирования факто­ ров те же, что и в предыдущем исследовании, за исключением фактора X], диапазон варьирования которого уменьшен до 15 < Х\ <55. Факторы Х6 и Х7 были зафиксирова­

ны на уровнях: Хв = 45°; X-j = 90°. В данном эксперименте, следовательно, модели­ руется раскрой 420 бревен.

Модель, полученная по результатам регрессионного анализа данных для объ­

емного выхода, имеет вид
у о6 -103 = 171 + 3,85х2 -21,3х4 -0,21*| -4,22*? + 1,2*2*4.	(11.85)

Для ценностного выхода получена следующая регрессионная модель, адекват­ ная на уровне значимости q = 0,01:

у а -103 = 245,8-14,4х, +15,8х2 - 40Д*3 - 23,7*4 -32,5х5 + 19,5*32 -

- 10,8*4 -5 ,8 * !* 5 - 4 * 2*3 +4,6 * 2*5 - 15,1* 3*5 + 8 ,2 * 4 * 5 .

(11.86)

Построенные модели содержат богатую информацию. Они позволяют дать ка­ чественную и количественную оценку влияния каждого из варьируемых факторов и их взаимодействий на объемный и ценностный выход пиломатериалов, дают возможность прогнозировать объемный выход и сортовой состав пиломатериалов в зависимости от сортности пиловочного сырья.

Факторы Хб и Хъ не вошедшие в 5-план, подверглись дополнительному иссле­ дованию с помощью однофакторных экспериментов. Фактор Хе = 5 варьировался в пределах 0°< 8 <200° через каждые 10°. Изменение этого фактора влияет на ценност­ ный выход пиломатериалов, поскольку в зависимости от направления преимуществен­ ной концентрации сучков различная часть их выходит на пласти и кромки досок, что приводит к изменению сортности пиломатериалов. Влияние этого фактора на ценност­ ный выход определяется еще уровнем фактора Х$ - величиной двугранного угла, в ко­ тором концентрируются сучки.

Наиболее рельефно характер влияния фактора 8 на отклик проявляется при ма­ лых значениях Х5. По этой причине значение Х$ зафиксировано на уровне 20°, а осталь­ ные факторы зафиксированы на уровнях: Х\ = 35; Хз = 30 мм; Х4 = 0%; Хп - 0°, бревна

срединные.

В каждом опыте по-прежнему распиливалось 10 бревен. Результатам экспери­ мента соответствует кривая 1 на рис. 11.10. Поскольку интерпретировать эту информа­ цию затруднительно, для каждого опыта были просчитаны значения ценностного вы­ хода в отдельности по боковым доскам (кривая 2) и по доскам из бруса (кривая 3).

Рассмотрим изменение отклика в зависимости от 8 для боковых досок. При уг­ лах 8 = 0 -1 0 ° сучки в основном попадают на пласти боковых досок 1 и 2 (рис. 11.11). При увеличении этого угла до 20 - 40° часть выходит уже на кромки досок, снижая ценностный выход. С увеличением 8 от 40 до 70° все большая часть сучков оказывается за пределами боковых досок, вследствие чего ценностный выход растет. В пределах 70°< 8 <110° он максимален: боковые доски содержат незначительное число сучков. Дальнейшее возрастание 8 приводит сначала к уменьшению отклика, поскольку все больше сучков оказывается на кромках досок 3 и 4, а. потом к некоторому его увеличе­ нию: сучки выходят в основном уже на пласти доски. Дальнейший ход графика объяс­ няется аналогичным образом.

Для досок из бруса картина несколько иная. При 0°< 8 <30° ценностный вы­ ход низок, так как сучки выходят на кромки досок 5, 6, 9, 10. Он еще уменьшается при 8 « 40° вследствие возрастания сечений сучков, пересекающих кромки досок под ост­

рыми углами. Дальнейший рост 8 приводит к росту числа сучков, выходящих на пласти досок 5 - 8 . Отклик максимален при 80° < 5 < 100°.

Рис. 11.10. График зависимостей у а = /(6 )

Рис. 11.11. Расположение досок в применяемом поставе

Как для боковых досок, так и для досок из бруса, наибольшее значение цен­ ностного выхода соответствует углу 8 = 90°. Поэтому в зоне 8 = 90 ± 10° кривая имеет выраженный максимум. Практический вывод: наилучшая ориентация бревен с нерав­ номерным распределением сучков по поверхности при подаче в лесопильную раму пер­ вого ряда соответствует расположению наибольшей части сучков в верхней либо в нижней части поверхности бревна.

Рассмотрим изменение объемного и ценностного выходов в зависимости от значений фактора Хп - угла 0. В соответствующем однофакторном эксперименте этот фактор варьировался в пределах 0< 0 <180° через каждые 10°. Распиливались бревна с кривизной к = Ха = 1,5 %, а остальные факторы фиксировались на уровнях: Х \= 15; Хз = 10 мм; Xs = 70°, бревна срединные.

Графики, построенные по результатам эксперимента, приведены на рис. 11.12. Характер зависимости объемного выхода от 0 (кривая 1) уже известен по результатам ряда исследований. Вид кривой 2 для ценностного выхода нуждается в пояснении. Ока-

360

Рис. 11.12. Графики зависимостей у 0q= / (б) и у п= /(0 )

зывается, в ряде случаев увеличение объемного выхода не приводит к увеличению цен­ ностного выхода. Дело в том, что в соответствующих случаях величина у 0б растет за счет увеличения длины обрезных досок, причем увеличивается часть доски, прилежа­ щая к вершине бревна и, следовательно, наиболее насыщенная сучками. Это сразу снижает сортность доски, причем иногда настолько существенно, что ценностный вы­ ход снижается, несмотря на увеличение объемного выхода. Сопоставление этих данных позволяет определить, какой из рекомендаций следует руководствоваться при ориента­ ции бревен, подаваемых на распиливание. Видно, что при данных диапазонах варьиро­ вания факторов, в частности, при явно выраженной неравномерности распределения сучков на поверхности бревна, фактор 8 оказывает более существенное влияние на цен­ ностный выход пиломатериалов, чем 0.

11.5. Оптимизация процесса продольного пиления древесины широкими ленточными пилами как многокритериальная задача

При решении этой задачи рассматривались три основных варианта: производственный, производственно-проектный и проектный. В зависимо­ сти от выбранного варианта различны списки управляемых и неуправляе­ мых факторов.

Здесь рассматривается процесс пиления древесины широкими лен­ точными пилами.

При решении производственного варианта задачи для заданных оборудования и инструмента отыскивают оптимальные режимы пиления. Поэтому к управляемым факторам - элементам решения - в данном случае относятся напряжение натяжения пилы, расстояние между направляющи­ ми и скорость подачи. Производственно-проектный вариант задачи рас­ сматривается с целью отыскания оптимальных параметров нового инстру­ мента и режимов пиления для заданного оборудования. Для этого варианта