pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

круглого сечения. Для эллипса в вершинном сечении бревна имеем урав­

нение x2/ a 2 + у 2 /Ь2 =1 (рис. 11.4).

Рис. 11.4. Схема к расчету оптимальных размеров четырехбитного бруса

Вписанный в него прямоугольник имеет площадь

S = 4xy = 4x^ jl-x2/ a 2 .

(П-51)

Для отыскания его размеров, соответствующих максимальному значению S, приравниваем к нулю производную от найденного для нее вы­ ражения (11.51). Как легко убедиться, оптимальные значения х и у равны:

xom= a / J 2;	(11.52)
Уот= Ь М 2.	(11.53)
Оптимальные размеры бруса поэтому составляют:	Вопт= 2хот =

= 42 а; Яопт = 2уопх = л/2 Ъ, а его максимальная площадь Smax = ВН = 2аЪ. В частном случае при a=b= dB/2 мы приходим к известным рекоменда­ циям относительно оптимальных размеров бруса, вырабатываемого из бревен круглого сечения:

Bom= d J 4 l .

(11.54)

Сравним выход пиломатериалов из бревен круглого и эллиптиче­ ского сечения. Рассмотрим для каждого из этих двух случаев отношение площади сечения бруса оптимальных размеров к площади сечения бревна. Для бревна круглого сечения

342

51 _	d l/г	„ 2
52	itdl/4	n ’

где Si - площадь сечения бруса; S2 - площадь сечения бревна.

Для бревна эллиптического сечения, воспользовавшись формулой S = 7iab для площади эллипса, получим Sx/ S2 = lab/nab = 2 / я .

Оказалось, таким образом, что теоретически из эллиптических бре­ вен можно получить пиломатериалы с таким же объемным выходом, что и из бревен круглого сечения.

Из формул (11.52), (11.53) вытекают и практические рекомендации по обработке эллиптических бревен. Достаточно при сортировании по диаметрам отнести эллиптическое бревно с горизонтальной полуосью, равной а, к группе круглых бревен, имеющих вершинный диаметр dh = 2а (с точностью до дробности сортирования), тогда при выполнении условия (11.54) для круглых бревен из эллиптического бревна также получится брус оптимальной ширины, что непосредственно следует из формулы (11.52). Требуется только подавать его в распиловку, сохраняя полуось а горизонтальной.

11.4.4. Алгоритм математического описания поверхности бревен

В условиях работы автоматизированных систем управления произ­ водством пиломатериалов уравнения поверхностей хлыстов и бревен вида (11.36) служат основой для решения задач оптимального раскроя пиловоч­ ного сырья, как индивидуального, так и группового. Решение этих задач в данном случае осуществляется управляющей ЭВМ. Но прежде всего здесь возникает вопрос о необходимом числе и координатах мест измерения па­ раметров бревен с целью получения явного вида ф уйкций/^),^^), a(z) и b(z), входящих в уравнение (11.36). Все измерения проводят относительно некоторой базовой системы координат oxyz, неподвижной относительно бревна. Выбор ее произволен. В данном случае достаточно лишь предпо­ ложить, что ось z направлена вдоль оси бревна и ближайшим к началу ко­ ординат является комлевое сечение, имеющее аппликату zK. Тогда вершин­ ное сечение имеет аппликату zB= zK+ L. Значения z, следовательно, огра­ ничены диапазоном zK< z < zB.

Пренебрежем для простоты возможной эллиптичностью бревна и аппроксимируем обе функции a(z) и b(z) одинаковыми многочленами вто­ рого порядка

a (z)=a0 + axz + a2z 2,

(11.55)

что соответствует традиционным предположениям о параболическом виде образующих бревен. Функции f ( z ) и f 2(z) будем аппроксимировать, с уче­ том возможной кривизны бревен, многочленами третьего порядка:

f ](z) = c0 + cxz + c2z 2 + c3z 3;	(11.56)
f 2(z)=d0 + dxz + d2z z + d3z 3.	(11.57)
Таким образом, предполагается, что ось бревна -	пространственная

кривая, а записанные выше многочленыf\(z) n f2(z) - это уравнения ее про­ екций на плоскости xoz иyoz соответственно.

Определение сечений бревна (значений z), в которых надо провести замеры координат бревна, можно теперь рассматривать как задачу плани­ рования эксперимента с целью построения регрессионных моделей (11.55) - (11.57). Результаты замеров в каждом сечении должны, разумеет­ ся, использоваться одновременно для получения всех трех этих моделей. Порядок полиномов для функций (11.56) и (11.57) выше, чем для функции (11.55), поэтому оптимальный план эксперимента следует искать примени­ тельно к моделям (11.56) и (11.57). В этом случае модель (11.55) все равно будет получена с заведомо большей точностью, чем модели (11.56) и (11.57), несмотря на то, что выбранный план не будет для нее оптималь­ ным. Одним из лучших среди экономичных планов эксперимента для од­ нофакторных полиномиальных моделей третьего порядка является план, содержащий четыре опыта в точках: -1; - q\ q; 1 (для кодированных значе­ ний аргумента), где q = 0,447 [35].

Этот план является D и G - оптимальным. Его применение предпо­ лагает измерение координат бревна в следующих четырех сечениях: 1) в комлевом: zi = zK(соответствует кодированному значению -1); 2) в сечении z2 на расстоянии 0,2765Z от комлевого сечения (соответствует кодирован­ ному значению - q); 3) в сечении z3 на расстоянии 0,7235L от комлевого сечения (кодированное значение + q); 4) в вершинном сечении z4 = ze (ко­ дированное значение +1).

Вначале измеряют аппликаты zKи zB. Затем в каждом из сечений zb z2, z3, z4 (их положения указаны выше) замеряют абсциссы вертикальных и ординаты горизонтальных касательных к данному сечению: хц9хц9y4i, y2i\ i = 1...4 (см. рис. 11.3, б). Для одного бревна, таким образом, предполага­ ется измерение 18 линейных размеров.

Далее вычисляют значения функций /i(z,) = (xXi+ x 3i)/ 2\ f 2(z}) =

=+ Уъ ) / 2 ; Ф . ) = (% -*!,-+ У“Н - УAt) / 4 •

Наконец, по четырем точкам (z = 1...4) проводится сглаживание ка­ ждой из функций по методу наименьших квадратов, т. е. отыскание коэф­ фициентов регрессии aj9 cjt dj , моделей (11.55) - (11.57).

При необходимости могут быть вычислены диаметры бревна в вершинном и комлевом сечениях - соответственно dBи dKпо формулам:

dt ={xu - x H + y 2A- y M)l2-, dK=(x3i - x u + y 2l - y 4l) /2 и другие пара-

метры.

11.4.5. Математическое описание поверхности сучков

Среди всех пороков наибольший интерес представляет описание сучков. Сучки моделируются конусами, вершины которых лежат на оси хлыста. Рассмотрим систему координат o'x’y'z', в которой вершина конуса совпадает с началом координат, а ось конуса направлена по оси orxf (рис. 11.5, а). Уравнение конуса в этой системе координат следующее:

y ’2+z'2 = х'2 / у2,

(11.58)

где у - котангенс угла между осью и образующей конуса.

Рис. 11.5. Расположение сучка в различных системах координат: a-o'x'y'z', б -oxyz

В системе координат oxyz, связанной с хлыстом, уравнение этого конуса можно получить, подставив в уравнение (11.58) вместо х\ у \ z* их значения из формул преобразования координат. Эти формулы в данном случае имеют вид следующий:

x'=tnx + t2)y + t3l( z - z H)-,
y'=tnx + t22y + ti2( z - z H); J-	(11.59)

z'=tnx + t2Jy + t^ {z -z„ ),

где zH - аппликата вершины конуса;

Uj - направляющие косинусы координатных осей.

Для расчета ценностного выхода пиломатериалов в имитационной модели раскроя бревен необходимо знать размеры сучков, выходящих на пласти и кромки досок. Пусть х = х - уравнение плоскости, в которой на­ ходится наружная пласть доски. В сечении конуса этой плоскостью полу­ чится эллипс. Его полуоси найдены через инварианты 7, Д А. Для общего уравнения второй степени

аих2 + 2апху + а21у 2 + 2ахъх + 2а1Ъу + аъъ =0.					(11.60)
Они равны	1 = аи + а22;
	а\2 ;		а \2	^1 3
D = а и		А = а \2	а 22	а23
^12	а22	аи		аъъ
			а 23
Уравнение рассматриваемого эллипса получается подстановкой в
(11.58) выражений для х\ у \	z' из уравнений (11.59) при х = х.				Опуская

промежуточные выкладки, приведем результаты вычисления инвариантов:

I = f + (l + у2) f2 -1;	D = у2[(l +Y2 > 2 - 1],
A = ~yAx2.
Полуоси эллипса ап и bn выражаются через инварианты по форму­
лам:
ап = ^ А / V 2;		(11.61)
где Яь Х2 - корни характеристического уравнения; X2 - 11 + D = 0.		Резуль­
таты расчетов:
an = r*/[(l + Y2> n - l l		(П-62)
К = х Ц {1 + У2> п -1 .		(11-63)
Аналогичным образом вычисляются размеры сучка, вышедшего на
кромку. Полуоси эллипса в этом случае равны:
«к = у>'/[(1+у2Ь 21 - 1];		(11.64)
h = y l 4 ( \	+ y 2)t2x- \ ,	(11.65)

где у = у - уравнение плоскости, содержащей кромку.

Приведенные соотношения должны быть дополнены требованиями того, чтобы сучок действительно находился в пределах пласти или кромки доски. Для этого необходимо проверить два условия:

1) будет ли отрезок оси сучка, ограниченный вершиной конуса и его основанием, пересекать плоскость* = х, т. е.

0 < х / tu </с,

(11.66)

где /с- длина сучка; 2) находится ли сечение сучка в пределах пласти. Для его получе­

ния запишем уравнение оси сучка, проходящей через точку (0; 0; zH), в па­ раметрической форме: х = fat, у = fat; z = zH+ fat. Значение параметра t в точке пересечения оси сучка с пластью равно t = x / t l{. Поэтому данное условие эквивалентно выполнению следующих неравенств:

\x t 2J t n\<\y\,	(11.67)
z K< z H+ tnx /tu < z B.	(11.68)
По тем же соображениям записываются условия пересечения суч­
ком кромки:	(11.69)
0 < y / t 2]< lc-
	(Ц-7°)
zK^ 2 H+r3Ip/?2)<zB,	(11.71)

где х = х - уравнение плоскости, содержащей внутреннюю пласть соот­ ветствующей доски.

Для бревен с кривизной в эти формулы вносят коррекции, учиты­ вающие расположение вершины сучка на криволинейной оси бревна.

11.4.6. Моделирование процесса раскряжевки хлыстов

Соответствующая подпрограмма формирует множество моделей бревен в пределах данного номинального диаметра из некоторой совокуп­ ности моделей хлыстов. Таким образом, имитируется, по существу, про­ цесс формирования, раскряжевки хлыстов и сортирования бревен по диа­ метрам. В основу имитационной модели заложена построенная выше ма­ тематическая модель хлыста. Ниже приводится алгоритм моделирования процесса раскряжевки хлыстов на ЭВМ.

Задается номинальный диаметр бревна в вершине dB, см, и его дли­ на L, м. Бревна данного вершинного диаметра могут вырабатываться из хлыстов различных размеров. С учетом этого диаметр хлыста на середине его длины d0,5 разыгрывается как случайная величина. Вычисляется длина хлыста Lxпо формуле

4 = 2 Х < 5 -

(П-72)

1=0

где т|, - реализация нормально распределенных случайных величин.

Такой способ вычисления длины хлыста учитывает ее поло­ жительную корреляцию с диаметром хлыста. Далее разыгрываются слу­ чайные величины at и bt - коэффициенты в уравнениях образующих хлы­ ста (11.38) и (11.39). Определяется аппликата вершинного сечения бревна. Предполагается, что раскряжевка начинается на расстоянии не менее 1 м от вершинного сечения хлыста. Поэтому вначале разыгрывается величина z, равномерно распределенная на отрезке [Lx- 2, Lx- 1]. Для этого z прове­ ряется условие

d%- \ < a { z ) < d ^ \ .

(11.73)

Смысл проверки: выяснить, находится ли диаметр сечения форми­ руемого бревна в пределах данного четного диаметра. Если это условие выполняется, то z принимается в качестве zBаппликаты вершинного се­ чения бревна. В противном случае из величины z последовательно вычита­ ется 1, и после каждого вычитания проверяются условия (11.73) и z>Z+1. Если эти действия не привели к отысканию zB, то вновь разыгрывается ве­ личина do,5>и процедура повторяется.

После отыскания zB вычисляется аппликата комлевого сечения бревна zK= zB- L. Для упрощения дальнейших вычислений, связанных с раскроем бревен, функции a(z) и b(z), которыми описываются образующие хлыста, аппроксимируются на отрезке [zK, zB] многочленами второго по­ рядка a’(z) и b'{z) по методу наименьших квадратов:

a'(z) = а'0 + a \z+ a ’2z 2\	(11.74)
6'(z) = 6'+6[z+^z2.	(11.75)

Определяется, будет ли формируемое бревно комлевым, срединным или вершинным в зависимости от того, в какой части хлыста находится се­ редина бревна. Если 3(zB+ zK) < 2(LX+ 1), то бревно комлевое. Если 2{LX+ 1) < 3(zB+ zK) < 4Lx - 2, то бревно срединное. В противном случае имеем вершинное бревно. Далее определяются уравнения оси бревна с учетом его возможной кривизны. Кривизна к задается как реализация слу­ чайной величины, математическое ожидание которой - линейно убываю­ щая функция диаметра бревен. Величина к считается подчиненной Y-распределению. Ось бревна - кривая, лежащая в плоскости, проходящей через ось z и образующей угол 0 с плоскостью у = 0. В этой плоскости она описывается функцией/ (z), имеющей вид

/(z ) = c0 +c,z + c2z 2 +c3z \

(11.76)

причем коэффициенты ct рассчитываются способом, описанным в п. 11.4.2. Параметр 0 разыгрывается как случайная величина, равномерно распределенная на полуинтервале [0; 2я]. После этого определяются функ­

ции f\(z) = f ( z ) cos0; / 2(z) = /(z )sin 0 . Тем самым полностью задано уравнение поверхности бревна в виде

(11.77)

при zK< z < z B. Это бревно длины L выпилено из фиксированной части хлыста и его вершинный диаметр находится в пределах dB- 1; dB+ 1. Та­ ким образом, наряду с формированием моделей бревен здесь имитируется и процесс их сортирования по диаметрам.

11.4.7. Моделирование распределения сучков и трещин в бревнах

После моделирования поверхности бревна работает подпрограмма статистиче­ ского описания его внутренних пороков - сучков, трещин и гнилей различного вида, кармашков, прорости. Моделирование распространения сучков начинается с разыгры­ вания величины 5 - угла в плоскости хоу между направлением наибольшей концентра­ ции сучков в бревне и осью ох. Определяется число сучков на поверхности бревна N \. Это округленное значение случайной величины £ь математическое ожидание которой задается в зависимости от типа бревна - комлевое, срединное или вершинное. Далее определяется число сучков Nn на каждом метре поверхности бревна. Для этого в ЭВМ заложены данные о математическом ожидании распределения сучков по длине бревна.

Очевидно, что	= N x . Определяется отношение N2i/N 3i, где Л'з, - общее число
	/

сучков на каждом погонном метре бревна, включая заросшие. Это отношение также представляет собой случайную величину %2, математическое ожидание которой зави­ сит от типа бревна. После розыгрыша £2 вычисляется величина Л^,, а затем число за­ росших сучков N4h на каждом метре: Л^,=Л^-Л^/. Для каждого сучка определяются: угол а между его осью и плоскостью хоу (см. рис. 11.5, б); угол (3 между проекцией оси сучка на плоскость хоу и осью ох. Значения этих углов разыгрываются как нормально

распределенные случайные величины, причем математическим ожиданием	для
Р является величина угла 8 . Вычисляются направляющие косинусы оси	сучка:

/i j = cos а • cosp, t21= cos а • sin р, t3l = sin а . Затем определяются длина /с каждого сучка,

аппликата zHвершины соответствующего конуса и диаметр dc его сечения при выходе на поверхность бревна. Для сучков, выходящих на поверхность бревна, /с = /с, где /с -

длина отрезка оси конуса между его вершиной и поверхностью бревна. Длина заросше­ го сучка берется как реализация случайной величины, равномерно распределенной на отрезке /с ; zHи dc - случайные величины. Параметры распределения для dc зависят от типа бревна и значений z„ и db. Далее вычисляется величина у - параметр в уравнении конуса: у = 2 lc/d c.

Вкачестве моделей трещин выбраны фрагменты эллипсоидов. Они ори­ ентированы так, что их большая полуось а параллельна оси oz, связанной с осью моде­ ли бревна, а центр эллипсоида - точка (*о, ^о, ^о) - лежит в комлевом сечении бревна.

Всистеме координат o'x'y'z', связанной с эллипсоидом, моделирующим трещи­ ну, его уравнение имеет вид (xr)2/a2+(yr)2/b2+(zr)2/c2=\. Поскольку оси o'z' и oz парал­

лельны, сразу определяются некоторые из направляющих косинусов: /33 = 1;

/31= h i = о. Кроме того, /13 = /23 = 0 вследствие того, что оси о'х' и oz взаимно перпенди­ кулярны.

Направляющие косинусы t\\ и tn можно определять двумя способами: 1) вели­ чины Гц и t\2 задаются детерминированно. При распиливании бревен имеет смысл

ориентировать бревно так, чтобы плоскость трещины была параллельна плоскости пропила на втором проходе. В этом случае влияние трещины на сортность досок, вы­

пиливаемых на втором проходе, окажется минимальным. Тогда o'x'j /ох и /ц=1;	2) ве­
личины 1 и tn - реализации случайных величин. Этот способ используется,	когда

бревна, имеющие трещины, обладают и выраженной кривизной. Тогда изложенный выше способ ориентации вступает в противоречие с известной рекомендацией относи­ тельно ориентации бревен с кривизной. Конкретно при втором способе величина t\ 1ра­ зыгрывается как случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [ - 1; 1],

/12 = ±д/1-7,2, . Отдельно моделируются торцовые и боковые трещины в бревнах. Для

торцовых трещин полагаем хо=.Уо=0 (рис. 11.6, а); для боковых трещин полагаем, что центр эллипса, полученного в сечении эллипсоида плоскостью z r= 0, лежит на ок­

ружности комлевого сечения бревна (рис. 11.6, б). Поэтому х% +у% = (dK/2 )2.

а

б

Рис. 11.6. Схемы к построению моделей трещин: а - торцовых; б - боковых

Приведем алгоритм моделирования трещин.

1.Разыгрываются параметры а и с как равномерно распределенные случайные величины и параметр Ъкак нормально распределенная случайная величина с заданным математическим ожиданием и дисперсией. Величина Ь - это половина ширины трещи­ ны в комлевом сечении бревна; с - ее высота; а - половина длины трещины в комлевом сечении - для торцовой трещины и длина ее - для боковой трещины. При моделирова­ нии управляемых экспериментов параметры а ,Ь и с задаются детерминированно.

2.Определяются параметры t\ \ и t\2 одним из указанных выше способов.

3.По величине b определяется ограничение на сорт бревна из-за трещины (в

соответствии с ГОСТом).

11.4.8. Разработка и программная реализация имитационного алгоритма раскроя бревен на пиломатериалы и оптимальной обрезки досок

На первом этапе проверяется возможность выпиливания досок за­ данных толщин из сформированного бревна. Если это оказывается невоз­ можным вследствие кривизны бревен, то уменьшаются толщины боковых досок. Основной частью подпрограммы раскроя бревен при брусоворазвальном способе является отыскание оптимальных значений длины для всех досок и ширины для тех из них, которые вырабатываются на первом проходе и на втором за пределами пропиленной части бруса. При разваль­ ном способе раскроя определению подлежит длина и ширина всех досок. При заданной ширине доски определение длины ее достаточно просто. Для этого отыскивается наименьшее значение среди аппликат точек пересече­ ния прямых, содержащих ребра доски, с поверхностью бревна. Обозначим через драсход полупостава для z-й доски, т. е. расстояние, отсчитываемое вдоль оси ох от начала координат до наружной пласти z-й доски. Пусть ^ - расстояние от начала координат до плоскости, содержащей кромку z-й дос­ ки. Для прямых бревен величина yt - это половина ширины z-й доски. То­ гда длина z-й доски равна ht = min {zBzK, z,- - zK}, где z, - это значение z, являющееся минимальным корнем уравнения

(11.78)

В более сложном случае, когда необходимо определить как длину, так и ширину доски, расчет проводят, исходя из требования максимума площади наружной пласти обрезной доски. Пусть зафиксировано х = xt. Тогда из уравнения (11.77) легко выразить >>через z:

(11.79)

(11.80)

Найденные функции y\(z) и y2(z) - это уравнения линий пересечения наружной пласти z-й доски с поверхностью бревна. Теперь задача об опти­ мальной обрезке досок сводится к отысканию прямоугольника макси­ мальной площади, который можно вписать в фигуру, ограниченную кри­ выми yi(z), y 2(z) и прямыми Z = zKи Z = zB(рис. 11.7).

Для решения этой задачи разработан и программно реализован спе­ циальный алгоритм. Согласно этому алгоритму первоначально отыскива­