7. Второе уравнение Максвелла

Второе уравнение Максвелла является обобщением закона электромагнитной индукции Фарадея (Рисунок 32 ):

.

32. −Произвольный контур в магнитном поле

В формулировке Фарадея считалось, что закон электромагнитной индукции справедлив только в случае проводящего контура , движущегося в постоянном электромагнитном поле, или неподвижного контура в переменном поле. Максвелл обобщил закон электромагнитной индукции, который в его формулировке звучит следующим образом:

Формулировка: ЭДС в произвольном замкнутом контуре пространства пропорциональна скорости изменения во времени потока магнитной индукции, пронизывающего любую поверхность, ограниченную контуром. Таким образом, уравнение справедливо и для произвольного замкнутого контура, проведенного в любой среде; в частном случае контур может быть проводящим, он может быть и воображаемым.

Дифференциальная форма уравнения получается, аналогично первому уравнению, применением к интегральной форме теоремы Стокса. Так как по теореме Стокса

то, применяя ее к левой части второго уравнения Максвелла в интегральной форме, получим:

.

Предположим, что контур неподвижен и не изменяется со временем. В этом случае производную по времени в правой части уравнения можно внести под знак интеграла:

.

Так как поверхность произвольна, то это равенство возможно только при равенстве подынтегральных выражений, т.е.

,

что называется дифференциальной формой второго уравнения Максвелла.

В координатной форме второе уравнение Максвелла имеет вид:

Второе уравнение Максвелла справедливо в любой точке пространства в любой момент времени и выражает обобщенный закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме. Из этой формы уравнения следует, что изменение во времени в некоторой точке магнитного поля сопровождается изменением по пространственным координатам в той же точке электрического поля.

8. Третье уравнение Максвелла

Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса на случай переменных процессов. Закон Гаусса связывает поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность с зарядом, сосредоточенным внутри нее:

,

так как , то

.

До Максвелла этот закон рассматривался только в применении к постоянным полям. Максвелл предположил, что это равенство справедливо и в случае переменных полей. Для заряда, распределенного внутри объема , который окружает поверхность:

,

подставляя это значение в закон Гаусса, получим

Это выражение называют третьим уравнением Максвелла в интегральной форме. Для перехода к дифференциальной форме используем теорему Остроградского-Гаусса:

Преобразуем левую часть третьего уравнения Максвелла в соответствии с теоремой:

.

Это равенство должно выполняться при произвольном объеме , что возможно только в том случае, если

.

Из третьего уравнения Максвелла следует, что источником или стоком векторного поля является плотность объемного электрического заряда, линии вектораначинаются в точках, гдеи заканчиваются в точках, где.

Координатная форма третьего уравнения для декартовой системы координат

.