9. Скалярные и векторные поля. Изображение полей. Примеры скалярных и векторных полей

До сих пор мы рассматривали отдельные векторы или скаляры. Рассмотрим более сложный случай, когда с каждой точкой пространства связывается значение некоторого скаляра или вектора. Рассматриваемая часть пространства называется тогда полем, скалярным или векторным.

Так, например, в атмосфере мы имеем скалярное поле давления, т.к. каждой точке атмосферы отвечает некоторое значение давления. В реке мы имеем векторное поле скорости; вокруг передающей радиоантенны – векторное электромагнитное поле.

Аналитически задание скалярной функции сводится к заданию функцииот трех координат точки, задание векторной функцииравносильно заданию трех скалярных функций,,, дающих компоненты вектора.

Очень часто приходится рассматривать скалярные или векторные функции, изменяющиеся с течением времени: ,. Соответствующие им поля называются тогда переменными или нестационарными.

Для наглядности большое значение имеет графическое представление полей. Проще всего обстоит дело с двумерными скалярными полями: они изображаются в виде карт, контурных диаграмм, поверхностей и т.п. Примеры таких изображений приведены на рисунке Рисунок 6 ; следует иметь в виду, что здесь изображено «плоское» скалярное поле двух координат , для поля трех координат приходится строить семейство поверхностей или карт.

карта контурная диаграмма

цветная поверхность сетчатая поверхность

6. −Изображение скалярных полей

Рассмотрим теперь векторное поле. Наиболее просто нанести на поле равномерную сетку и в каждом узле сетки изобразить вектор обычным образом, т.е. в виде направленного отрезка (рисунок ).

7. − Изображение векторного поля векторами на сетке

Однако для более наглядного изображения векторного поля удобно использовать векторные линии, предложенные Фарадеем, т.е., такие линии, во всякой точке которых вектор будет иметь направление касательное к линии (рисунок Рисунок 8 ).

8. −Построение векторных линий

Приближенно мы можем построить эти линии следующим образом. Выберем какую-нибудь точку поля и отложим вдоль отвечающего этой точке вектора отрезок малой длины. В конце этого отрезка поступим аналогично, и будем продолжать так дальше. В результате будет получена ломаная линия, которая тем ближе будет представлять нашу векторную линию, чем короче отрезки берутся.

Однако задание векторных линий и их ориентировка дает нам только направление вектора во всякой точке поля, величину же вектора мы должны графически изобразить каким-либо другим способом. Обычно величина вектора характеризуется густотой проводимых линий, как показано на рисунке Рисунок 9 .

9. −Векторные линии

2. Лекция 2. Используемые понятия и законы векторного анализа. Заряды и токи. Векторы электромагнитного поля.

   1. Циркуляция вектора и поток вектора через поверхность

Пусть нам задано векторное поле вектора ; возьмем какую-нибудь кривую, соединяющую две точкии, разобьем ее на бесконечно малые элементы, которые заменим хордами, составим далее скалярные произведения, гдеесть вектор поля, отвечающий началу вектора. Составим далее сумму всех таких скалярных произведений и перейдем к пределу, устремив все элементык нулю. Полученный предел называется линейным интегралом векторавдоль кривойи обозначается через

10. − К определению линейного интеграла вектора

Линейный интеграл вычисляется через интегрирование проекций вектора на оси координат:

Если кривая замкнута, то линейный интеграл вектора называется циркуляцией вектора по этой кривой. К знаку интеграла в этом случае добавляется кружок:.

С помощью векторов можно изображать не только направленные отрезки, но и направленные площади. Для этого вернемся к определению векторного произведения: там нам тоже встретилась площадь в виде параллелограмма, построенного на векторах и, причем был важен порядок, в котором следовали вектора. Откладывая сначала вектор, а затем, получим определенное направление контура параллелограмма.

Представление площадей векторами необходимо для введения понятия потока вектора через поверхность. Поток векторачерез поверхность является поверхностным интегралом векторапо поверхности. Определим его следующим образом. В каждой точке поверхности проведем единичный вектор нормали. Если− значение вектора в некоторой точкеMповерхностиS, то проекцияна единичныйопределяется через скалярное произведение (рисунок Рисунок 11 ):

.

11. −К определению потока вектора через поверхность

Разделим теперь поверхность Sна большое число малых элементов, каждый из них изображается, как мы определили выше, вектором. Размерность будет выражаться в единицах измерения площади – м²_.Например, если мы впишем в поверхностьSмногогранную поверхность, то каждая ее грань будет изображаться вектором, направленным по нормали к этой грани и равным по величине площади грани. Составим для каждого элемента скалярное произведениеи образуем сумму, распространенную по всем элементам поверхности. Эта сумма стремится к пределу, когда все элементы поверхности стремятся к нулю. Получаемый предел обозначается как

,

и называется поверхностным интегралом векторапо поверхностиSили потоком векторачерез поверхностьS. Вычисление потока выполняется следующим образом:

.

Поток вектора положителен, если силовые линии выходят из поверхности Sнаружу, и отрицателен, если они входят внутрь – потому что угол междуив первом случае острый, и косинус больше нуля, а во втором – тупой.

Если поверхность замкнутая, то к знаку интеграла добавляется кружок:

Понятие потока вектора появилось в гидродинамике, которая развилась раньше теории электричества. Если через обозначить вектор скорости течения жидкости, то выражение

будет представлять собой количество жидкости, проходящее через эту поверхность в единицу времени, т.е., действительно поток. Следует отметить, что в применении к векторам электромагнитного поля слово «поток» имеет только математическое значение, подчеркивающее сходство формул, но никак не сходство физических явлений.