5. Уравнения Максвелла в комплексной форме

Уравнения Максвелла являются линейными дифференциальными уравнениями, к ним может быть применен метод комплексных амплитуд. В этом случае вместо векторов электромагнитного поля рассматриваются комплексные векторы:

,,

и т.д. Тогда в первом уравнении Максвелла, например, получим:

.

Поскольку постоянный множитель не зависящий от координат, выступает как постоянный коэффициент, а при дифференцировании по времени постоянной оказывается комплексная амплитуда, то

.

Таким образом, получено уравнение относительно комплексных амплитуд, утратившее временную зависимость. Аналогично для вектора

и

.

6. Комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемость

Пусть среда имеет конечную проводимость и сторонние токи отсутствуют. Учтем, чтои. Тогда в комплексной форме первое уравнение Максвелла запишется в виде

.

Вводя обозначение

,

получим

.

Как видно, величина по тому месту, которое она занимает в уравнении, может рассматриваться в качестве диэлектрической проницаемости. Это так называемая комплексная абсолютная диэлектрическая проницаемость. Она зависит от проводимости среды, ее диэлектрической проницаемости и частоты. Преобразуем выражение для нее к виду

.

Комплексная диэлектрическая проницаемость также часто обозначается в виде эпсилон с тильдой: .

Значение реальной части комплексной диэлектрической проницаемости говорит об интенсивности процесса поляризации, в то время как мнимая часть характеризует плотность токов проводимости.

Отношение реальной и мнимой частей комплексной диэлектрической проницаемости равно отношению амплитуд плотностей тока смещения и тока проводимости и называется тангенсом угла электрических потерь. Комплексные амплитуды векторов плотности тока проводимости и плотности тока смещения равны соответственно и, тогда

39. − Комплексная диэлектрическая проницаемость

Чем больше этот угол, тем большая часть электромагнитной энергии рассеивается в виде тепла.

Тангенс угла потерь определяет свойства среды в гармоническом электромагнитном поле и является критерием деления сред на проводники и диэлектрики:

1. , т.е.− среда хорошо проводящая

2. , т.е.− среда близка к диэлектрику

3. , т.е.−среда полупроводящая.

В силу частотной зависимости тангенса угла потерь, одна и та же среда на разных частотах может быть хорошо проводящей, полупроводящей и слабопроводящей (диэлектриком). С увеличением частоты все среды приобретают свойства диэлектрика. Металлы во всем диапазоне радиотехнических частот ведут себя как проводники.

7. Энергетические соотношения в электромагнитном поле. Теорема Пойнтинга

Одной из важнейших характеристик электромагнитного поля является его энергия. Впервые вопрос об энергии электромагнитного поля был рассмотрен Максвеллом, который показал, что полная энергия поля, заключенного внутри объема , складывается из энергии электрического поля

и магнитного поля

Подынтегральные выражения здесь могут, таким образом, рассматриваться как плотности энергии электрического поля

и магнитного поля

.

Энергия электромагнитного поля, заключенного внутри объема , вообще говоря, не может оставаться постоянной. К числу факторов, обусловливающих изменение энергии поля во времени, следует отнести:

1. Превращение части энергии электромагнитного поля в энергию других видов, например, в механическую энергию частиц вещества, связанную с их тепловым движением, обусловленным протеканием токов проводимости.

2. Работу сторонних источников, которые, в зависимости от конкретных условий, могут как увеличивать запас энергии поля, так и уменьшать его.

3. Обмен энергией между выделенным объемом и окружающими его областями пространства за счет специфического процесса, присущего электромагнитному полю и носящему название процесса излучения.

Интенсивность процесса излучения в электродинамике принято характеризовать, определяя в каждой точке пространства особую векторную величину, носящую название вектора Пойнтинга . Физический смысл вектора Пойнтинга состоит в том, что его модуль и направление характеризуют величину и направление потока энергии излучения в каждой точке пространства. В системе единиц СИ вектор Пойнтинга имеет размерность. При этом полная убыль энергии электромагнитного поля, заключенного внутри воображаемого объемас поверхностью, обусловленная излучением и отнесенная к единице времени, равна

На основании изложенного последний интеграл должен рассматриваться как величина мгновенной мощности излучения, происходящего по направлению из рассматриваемого объема в окружающее пространство. Если знак данного интеграла отрицателен, то это говорит о том, что поток энергии излучения направлен не из объема , а внутрь него.

Физически правильные результаты, согласующиеся как с законом сохранения энергии, так и с уравнениями Максвелла, получаются в том случае, если выразить вектор Пойнтинга через мгновенные значения полей иследующим образом:

.

Действительно, по теореме Остроградского-Гаусса для рассматриваемой замкнутой поверхности будем иметь

.

Здесь было использовано известное тождество векторного анализа

.

С учетом уравнений Максвелла

выражение примет вид

.

Интеграл вида

может быть назван мгновенной мощностью потерь, существующих внутри объема за счет протекания токов проводимости. Другое слагаемое

характеризует мгновенную мощность, которая в зависимости от взаимной ориентации векторов иможет либо вноситься в рассматриваемый объем, либо отводиться из него сторонними токами. Используя электротехнические термины, можно говорить о том, что источники стороннего тока способны выступать как в роли генераторов, так и в роли нагрузок. Наконец, если предположить, что между векторами поля в соответствии с материальными уравнениями существует линейная связь

,,

то последний интеграл в правой части формулы примет вид

.

Итак, на основании сказанного приходим к интегральному соотношению вида

,

являющемуся математическим выражением теоремы Пойнтинга. Это теорема устанавливает факт баланса энергий внутри произвольной области, в которой существует электромагнитное поле.