7. Теорема Остроградского-Гаусса

Выведем выражение, дающее связь между потоком вектора через некоторую замкнутую поверхность, имеющую конечные размеры, и дивергенцией этого вектора внутри объема, ограниченного данной поверхность. Для вывода разделим объем на части, соприкасающиеся между собой. Для каждой части объема, исходя из приближенного равенства, вытекающего из определения дивергенции, можно записать связь между потоком вектора через поверхность этого частичного объема и дивергенцией вектора внутри объема. Так как, то

,

где − номер частичного объема,− малая величина, которая стремится к нулю вместе с. Определение дивергенции дается для бесконечно малого объема, а записанное равенство – для малого, но конечного объема, в связи с чем это равенство отличается от определения дивергенции тем, что введена величина, исчезающая при переходе к пределу, когда объем стремится к нулю. Значениездесь взято в некоторой точке внутри частичного объема номера.

Так же, как и при выводе теоремы Стокса, просуммируем выражения такого вида, записанные для всех частичных объемов, на которые разбит конечный объем :

.

Сумма потоков вектора через поверхности всех частичных объемов, на которые был разбит общий объем, представляет собой поток вектора через поверхность всего объема (общего), так как птоки по граничным поверхностям, отделяющим друг от друга частичные объемы, направлены в противоположные стороны и взаимно сокращаются. То есть, положительное направление потока в сторону внешней нормали к поверхности оказывается взаимно противоположным для двух соседних объемов, разделенных поверхностью:

.

Данное равенство сохраняет силу при любом числе частичных объемов.

Заменив сумму потоков на поверхностный интеграл, устремим число частичных объемов к бесконечности, при этом величины самих объемов будут стремиться к нулю. Тогда в пределе сумма в левой части (?) перейдет в интеграл, а последняя сумма в правой части – исчезнет. В результате получится математическая формулировка теоремы Остроградского-Гаусса:

.

Интеграл по объему от дивергенции вектора равен потоку этого вектора через поверхность, окружающую объем.

На этом мы заканчиваем рассмотрение положений векторного анализа и переходим собственно к теории электромагнитного поля.

8. Заряды, плотность заряда. Закон сохранения заряда

Понятие электрического заряда будем считать не подлежащим определению. В курсе общей физики дается представление о фактах, на основе которых формируется понятие заряда. Заряд как физическая величина обозначается символом q и измеряется в кулонах (Кл).

Известно, что заряд дискретен, наименьший по абсолютной величине заряд принадлежит элементарной частице – электрону. Классическая электродинамика является макроскопической, то есть рассматривает действие огромных – «практически бесконечных» объемов заряженных частиц. Среда представляется сплошной, а токи и заряды – непрерывно распределенными в объеме.

Распределение заряда qв объемеVхарактеризуется величиной ρ, которая определяет величину заряда на единицу объема и называется объемной плотностью заряда (Рисунок 17 ):

Заряд, распределенный в объеме, определяется интегралом через объемную плотность:

.

17. −К определению объемной плотности заряда

В теории электромагнитного поля применяется также понятие поверхностной плотности заряда. В многих случаях, особенно когда частота изменения поля велика, заряд сосредотачивается в очень тонком слое у поверхноститела. В математических моделях при этом считают, что заряд становится чисто поверхностным (толщина слоя стремится к нулю). Заряд в этом случае определяется как (рисунок Рисунок 18 )

,

где ξ − поверхностная плотность заряда

.

18. −Поверхностная плотность заряда

Наконец, линейный заряд, т.е. распределенный вдоль линии l(например, заряд провода бесконечно малого радиуса, Рисунок 19 ) вычисляется как

,

где τ −линейная плотность заряда

.

19. −Линейная плотность заряда

Опытным путем установлен один из основных законов природы: закон сохранения электрического заряда: электрический заряд не уничтожается и не создается из ничего, он может быть лишь перераспределен между телами при их непосредственном контакте.