8. Граничные условия для нормальных составляющих электрического поля

Методика вывода граничных условий и соответствующая иллюстрация остаются здесь совершенно аналогичными тем, что были использованы при выводе условий для нормальных составляющих магнитного поля. Однако за основу принимается не четвертое уравнение Максвелла , а третье. Отсюда возможны два случая.

Первый. Плотность поверхностных электрических зарядов равна нулю. Суммарный электрический заряд , заключенный внутри малой цилиндрической области, при этом равен нулю. В соответствии с теоремой Гаусса

,

откуда по аналогии с предыдущим выводом следует

.

Итак, при отсутствии поверхностных электрических зарядов нормальные составляющие векторов электрического смещения на границе раздела двух сред непрерывны, в то время как нормальные составляющие напряженностей электрического поля в общем случае претерпевают скачок:

.

Второй случай. На границе раздела равномерно распределен поверхностный электрический заряд с плотностью .

В этом случае, очевидно, стремление к нулю высоты цилиндра не влияет на величину заряда, заключенного внутри цилиндра. Воспользовавшись законом Гаусса, можно записать формулу:

,

откуда следует

.

Это выражение означает, что при наличии заряженной границы раздела нормальные составляющие векторов электрической индукции испытывают скачок, по величине равный плотности поверхностного заряда в исследуемой точке. Физически это обусловлено тем, что заряд, расположенный на поверхности, создает свое собственное поле, ориентированное таким образом, что по одну сторону от границы раздела это поле складывается со внешним полем, а по другую вычитается.

9. Граничные условия для тангенциальных составляющих магнитного поля

Задача о поведении на границе раздела тангенциальных составляющих магнитного поля решается на основе второго уравнения Максвелла (закон полного тока) в интегральной формулировке:

Проведем через граничную поверхность плоскость, проходящую через нормаль к. Введем в исследуемой точкетри взаимно ортогональных вектора,и. Векторы,по прежнему являются единичными векторами нормального и тангенциального направлений и лежат в плоскости, аобразует с ней нормаль.

Выделим в окрестности точки малый прямоугольный контур, целиком лежащий в плоскоститаким образом, что две его стороны пересекают границу раздела, а две лежат по разные стороны от границы раздела. Обозначим длину сторон контура и. Зададим направление обхода контура по направлению орта(против часовой стрелки, наблюдая с конца орта).

58. − К выводу граничных условий для тангенциальных составляющих электрического поля

В обоих областях, разделяемых границей, протекают некоторые токи, которые могут включать как токи проводимости, так и токи смещения. Применим к контуру второе уравнение Максвелла, причем будем считать, что размеры контура достаточно малы для того, чтобы считать в поле в его пределах постоянным: . В результате получим

Здесь первые два члена получены вычислением циркуляции вектора по участкам контура, так как направление обхода по ним противоположно, то и знак членов отличается.− циркуляция вектора напряженности магнитного поля по боковым сторонам контура длиной.

Далее снова нужно рассмотреть два случая.

Первый случай. Электродинамические параметры обеих граничащих сред являются величинами конечными, т.е., не равными бесконечности. Отсюда непосредственно следует конечное значение векторов плотности токов проводимости и смещения.

Теперь совершим предельный переход, устремляя высоту контура к нулю. В силу предположения о конечности векторов тока проводимости и смещения будем иметь

.

Кроме того, циркуляция вектора по боковым сторонам контура также будет равна нулю. С учетом сказанного будем иметь:

,

или

.

Таким образом, при конечных значениях электродинамических параметров сред тангенциальные составляющие векторов напряженности магнитного поля непрерывны. Отсюда сразу следует, что тангенциальные составляющие векторов магнитной индукции терпят разрыв:

.

Рассмотрим теперь второй случай, считая, что проводимость одной из граничащих сред бесконечна.

Положим, например, что бесконечна проводимость второй среды . Подобное предположение делает неприменимой формулу. Дело в том, то при бесконечно большой проводимости среды толщина скин-слоя (глубина проникновения электромагнитных волн) равна нулю на любой частоте. В результате токи проводимости протекают по поверхностной пленке нулевой толщины, и предельный переход даст отличный от нуля результат.

Для этого случая вводят понятие вектора плотности поверхностного тока . Принцип введения этого вектора показан на рисунке Рисунок 59 .

59. −Поверхностный ток

Прежде всего проведем единичный вектор, касательный к линиям тока в данной точке. Этот вектор обозначается как . Затем находится величина тока, протекающего через отрезок, перпендикулярный вектору. Плотность поверхностного тока определяется как

.

Теперь закон полного тока для контура можно записать в виде

.

Далее следует учесть, что внутри идеального проводника все составляющие электромагнитного поля должны равняться нулю. Так как бесконечно проводящей принята вторая среда, то поэтому и получим

.

Это выражение является граничным условием для тангенциальной составляющей вектора напряженности магнитного поля на границе с идеальным металлом. Данная формула позволяет решить важную для практики задачу − найти плотность поверхностного тока по известному магнитному полю на границе идеального проводника. С учетом того, что

,

можно записать

.

Таким образом, поверхностный ток на границе раздела с идеальным металлом протекает в направлении, перпендикулярном вектору , и численно равен напряженности магнитного поля.