2. Потенциальное и вихревое поле

Различают два основных типа векторных полей: потенциальные (безвихревые) и вихревые (соленоидальные) поля. Физические свойства их различны.

Потенциальное поле тесно связано со своим источником, линии поля имеют начало (исток) и конец (сток). Линии вихревого поля всегда непрерывны и не имеют источников (рисунок Рисунок 12 ).

12. −Потенциальное и вихревое поля

Для потенциального поля имеем

,

то есть циркуляция вектора по любому замкнутому контуруравна нулю.

Если поле является вихревым, то поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

В дальнейшем будет показано, что электростатическое поле является только потенциальным, магнитное – вихревым.

3. Градиент, оператор Гамильтона

Далее мы рассмотрим некоторые дифференциальные операции с векторыми и скалярными полями, а именно градиент, дивергенцию (расхождение) и ротор (вихрь). Эти операции потребуются нам при рассмотрении уравнений Максвелла.

Каждое поле порождает собой еще три поля, которые мы и будем рассматривать: векторные поля градиента и ротора и скалярное поле дивергенции.

Градиентом скалярного поля называется вектор, имеющий направление быстрейшего увеличенияи по величине равный производной по этому направлению.

В векторном анализе часто удобно использовать условный вектор, т.н. оператор Гамильтона. В декартовых координатах он имеет вид

.

Тогда можно записать

.

Градиент совпадает по направлению с нормалью к поверхности уровня и направлен в ту сторону, кудавозрастает (рисунок Рисунок 13 ).

13. −Градиент

Градиент будет применяться при анализе потенциальных векторных полей. Другое применение вектора градиента – численная оптимизация функций.

4. Дивергенция, физический смысл дивергенции

Для анализа явлений, происходящих в электромагнитном поле, важно знать, где находятся источники того или иного вектора. За меру источника можно выбрать поток вектора через замкнутую поверхность, но внутри данной замкнутой поверхности могут быть источники разных знаков, взаимно уничтожающие свое действие. Чтобы выявить распределение источников в пространстве, можно устремить эту замкнутую поверхность к нулю, но тогда поток вектора через эту бесконечно малую поверхность будет бесконечно малым. Это затруднение ликвидируется тем, что поток вектора через замкнутую поверхность делят на объем, окруженный этой поверхностью. Устремляя объем к нулю, получим предел этого отношения, который и называется дивергенцией.

Дивергенция дает возможность точно указать, в каких точках пространства расположились источники вектора.

Возьмем какую-либо точку поля , окружим ее малым объемоми вычислим поток векторачерез поверхность, ограничивающую объем. Разделим этот поток на, чтобы отнести его к единице объема и перейдем к пределу, устремляя к нулю все размеры, что мы будем обозначать символом. При этом объембудет стягиваться к точке. В результате получится некоторое число, зависящее от поведениявблизи точки, и характеризующее степень истечения из точки. Это число называется расхождением, или дивергенцией векторав точке. Дивергенция обозначается символом. Таким образом,

В векторном анализе доказывается, что

или, с применением оператора Гамильтона,

,

т.е., скалярное произведение оператора набла на вектор .

Рассмотрим значения дивергенции для разных случаев поля (рисунок Рисунок 14 ).

14. −Дивергенция

При положительной в точке дивергенции внутри областипоток векторачерез ограничивающую поверхность больше нуля, то есть линии вектора расходятся из этой области. Таким образом, внутринаходятся источники вектора. При отрицательной дивергенции, наоборот, линии вектора сходятся в областьи тогда внутри нее находятся стоки векторного поля.

Если же во всех точках некоторой области поля дивергенция оказывается равной нулю, что силовые линии поля либо пронизывают ее, либо являются замкнутыми.