7 Формулы для вычисления свободных членов уравнений поправок

Самая общая формула для свободных членов уравнений поправок, вытекающая из общей теории уравнивания параметрическим способом, - зто формула

В применении к уравниванию триангуляции второго класса она принимает вид

где - измеренное значение направления(величины измеренные или полученные непосредственно по результатам измерений обычно обозначаются теми же буквами, но со штрихами),- приближенное значение ориентирующего угла. Последнюю формулу можно записать более сокращенно:

.

Наличие трех слагаемых в формуле (7.3) позволяет группировать члены тремя разными способами. Соответственно и вычислять свободные члены можно тремя разными способами, что используется для контроля вычислений, Например,

,

где - значение ориентирующего угла, полученное по измерениям.

8 Приближенное решение треугольников

Как показывают формулы предыдущих разделов, для вычисления свободных членов и коэффициентов уравнений поправок необходимо знать приближенные координаты определяемых пунктов. Но вначале несколько слов о точности вычислений. Известно, что средняя квадратическая ошибка измерения угла в триангуляции второго класса не должна быть более одной секунды. Таково требование инструкции [6]. Точность произведенных измерений намного выше, т. е. составляет десятые доли секунды. Чтобы не испортить эту точность, вычисления должны производится па порядок точнее, т. е. до сотых долей секунды, а соответствующая точность вычислений длин сторон - это сантиметры.

Перейдем теперь к решению треугольников. Под решением треугольников понимается получение неизвестных элементов треугольника по известным. Для чего нам нужно решать треугольники? Дело в том, что для получения приближенных координат пунктов используются формулы решения прямой геодезической задачи на плоскости:

Эти формулы показывают: для получения приращений координат необходимо знание длин сторон и дирекционных углов этих сторон. Поэтому первым этапом вычислений является вычисление твердых длин сторон и твердых дирекционных углов, чтобы по ним затем можно было бы вычислить длины остальных сторон и их дирекционные углы. (Твердыми значениями величин называются в геодезии значения, которые считаются известными и безошибочными). При этом применяются формулы решения обратной геодезической задачи на плоскости:

Для контроля вычисления дирекционного угла используется формула

Схема вычислении по этим формулам дана в табл. 3 и на рис. 2.

После того как вычислены длины исходных сторон и их дирекционные углы, приступают к решению треугольников. В данном случае в решаемом треугольнике должна быть известна хотя бы одна сторона, углы считаются известными в результате наблюдений горизонтальных направлений. Поскольку значения углов не окончательные, решение треугольников - приближенное. Длины сторон наиболее удобно получать по теореме синусов

,

где a, b, с - длины сторон треугольника, А, В, С - углы треугольника, противолежащие сторонам а, b, с соответственно. Если в треугольнике известна сторона a, то стороны b и с вычисляются по формулам

В этих формулах имеется общий множитель , который достаточно вычислить один раз. Формулы (8.7) приобретают вид

Рис.2. Определение дирекционного угла

по приращениям координат и по острому углу

Длину исходной стороны в таблице вычислений (см. табл. 4), а следовательно и значение противолежащего угла, удобно располагать во второй строчке записей данных для рассматриваемого треугольника. Выше располагается только значение q. Это значение q умножается на sinB в третьей строчке и результат записывается в этой же строчке. Умножая q на sinС в четвертой строчке, результат, равный длине с, записывается тоже в четвертой строчке.

Значения углов в этих вычислениях получаются как разности наблюденных направлении, конечно приведенных к центрам знаков и спроектированных на плоскость в проекции Гаусса - Крюгера. Например, угол ВАС = А получен как разность направлений

АB и АС, измеренных на пункте A. Из-за ошибок измерений сумма углов в треугольнике не будет равна 180 градусам. Если обозначить измеренные значения углов треугольника через A’, B’, С’, то несоответствие суммы углов его теоретическому значению, называемое невязкой, получается по формуле

Чтобы треугольник оказался замкнутым, необходимо невязку каким-либо образом уничтожить. Это делается путем исправления измеренных значений углов одной третью невязки, взятой с обратным знаком. Кроме того, невязки используются для оценки точности измерения углов по формуле

где - невязка треугольника,n – число невязок.

Рассмотрим на примере, как вычисляются исходные длины сторон и их дирекционные углы, а также покажем решение треугольников. Пусть дана сеть триангуляции (рис. 3), а также результаты наблюдений и координаты исходных твердых точек (табл. 1,2).