2 Схема электрической цепи. Топология. Матрицы соединений.

Определим ветвь, как совокупность элементов, по которым протекает один и тот же ток (последовательно соединенных). Тогда с точки зрения геометрии электрическая цепь представляет собой совокупность ветвей и узлов. Узлом назовем точку, где сходятся три и более ветвей. Иногда вводится понятие - простой узел: точка соединения двух ветвей. Математический аппарат, описывающий структуры, состоящие из ветвей и узлов, излагается в теории графов.

Граф схемы - совокупность узлов и ветвей.

Узел-точка, где сходятся три и более ветвей. Путь-совокупность ветвей, проходя по которой, любая ветвь не проходится многократно. Ветви пути, перечисленные в заданном порядке, определяют направление пути.

Контур - замкнутый путь, начинающийся и заканчивающийся в одном и том же узле. Перечисление ветвей задает направление обхода контура. Поскольку токи проходят только по замкнутым путям в графах, отображающих электрические цепи, ветви не входящие в замкнутые контуры не учитываются.

Сечение - совокупность ветвей, удаление которых из графа приводит к образованию двух несвязных графов.

Наличие четырехполюсных элементов (трансформаторы, управляемые источники) может приводить к описанию цепей не связанными графами.

Ориентированный граф - такой граф, ветвями которого присвоены определенные направления.

Дерево графа - объединенный подграф (часть графа), содержащий все узлы схемы, но не содержащий ни одного контура. Для выделения дерева графа необходимо удалить такую часть ветвей, чтобы разорвать все контуры, но не расчленять граф. Выделение дерева графа разбивает все множество ветвей на два подмножества: ветви дерева и ветви дополнения или хорды. Разделить ветви на два подмножества можно по-разному. Самое простое задание ориентированного графа состоит в его изображении, нумерации узлов и ветвей и указании направлений (условных) токов в ветвях.

Независимым узлом называется узел, отличающийся от всех остальных хотя бы одной ветвью. Можно показать, что для выделения независимых узлов в графе достаточно исключить из совокупности всей узлов один любой узел. Исключенный из совокупности независимых узлов, узел обычно “заземляют” или обозначают индексом “0”.

Независимым сечением называют такое сечение, которое отличается от всех других хотя бы одной ветвью. Для образования системы независимых сечений можно, выделив дерево графа, привести сечения так, чтобы каждое из них пересекало одну ветвь дерева, а остальные хорды.

Независимым контуром называется контур, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая во все остальные независимые контуры. Систему независимых контуров можно получить, если в каждый из них включить хорду (дополнение), а остальные ветви должны состоять из ветвей дерева.

Если ветвь содержит источник тока, то из графа ее исключают (эта ветвь имеет бесконечно большое сопротивление), но для сохранения информации отмечают подтекающие в соответствующие узлы тока.

Пример 1.

(рис. 2-29).

Схема (а)

Ориентированный граф схемы (б)

одно из деревьев графа (в)

Рис. 2-29

Независимые узлы: 1, 2, 3, 4.

Независимые контуры:

I	1-4-5
II	2-5-6
III	3-6-7

Независимые сечения:

I	4-1-(8)
II	5-1-2-(8)
III	6-3-2-(8)
IV	7-3-(8)

Указание ветви, содержащей источник тока в сечении (и в узле) понадобится для учета тока источника в узловых уравнениях.

Как видно из примера система независимых контуров и сечений полностью определяется выбранным деревом графа.

Алгебраически граф может быть представлен в виде различных матриц. Рассмотрим три из них.

1. Матрица контур-ветвь, каждый элемент которой , если i-я ветвь входит в i-й контур и направление тока в ней совпадает с направлением обхода.

, если i-я ветвь входит в i-й контур и направление тока и направление обхода встречны.

 - в других случаях.

Пример 2.

(рис. 2-30)

граф

Рис. 2-30

Рассмотрение К-матрицы показывает:

1. Если номера ветвей-хорд и контуров совпадают, а направления обхода контура выбрано одинаковым с направлением токов в хордах, то выделяется единичная подматрица К_х. Это легко достигается, поскольку нумерация ветвей и условные положительные направления токов произвольны.

При вводе данных и хранении информации о графе можно ограничиться информацией о [].

2. Каждая строка матрицы содержит информацию о ветвях, входящих в контур и знаке тока в них. Т.к. - единичная диагональная матрица, то строки обязательно отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью.

3. Количество независимых контуров равно количеству хорд.

Практически матрица очень часто разряжена и нули не пишутся.

2. Матрица сечение-ветвь

, если ветвь входит в отсечение и ток направлен к отсечению.

 то же, но при противоположном направлении тока.

, если ветвь не входит в отсечение.

Пример 3.

(рис. 2-31)

Рис. 2-31

1. Если номера отсечениям присваивать в порядке возрастания номеров ветвей дерева, то выделяется единичная подматрица, соответствующая ветвям дерева.

2. Строка матрицы перечисляет ветви, входящие в отсечения. Если в подматрице дерева все элементы положительны, то легко снимается некоторая неопределенность направления “к отсечению”.

3. Количество независимых отсечений равно количеству ветвей дерева, которое в свою очередь на единицу меньше количества узлов (доказывается по индукции).

3. Матрица узел-ветвь

, если i-я ветвь входит в i-й узел

, если i-я ветвь выходит из i-го узла

, если i-я ветвь не включается в i-й узел

Все, что сказано о матрице Q справедливо и для матрицы Р, за исключением того, что квадратную подматрицу, соответствующих ветвей не всегда удается сделать единичной. Если одну из строк удалить (нулевой узел), то размеры матриц P и S совпадают.

Это обстоятельство не случайно, т.к. количество ветвей графа (N_В), количество независимых контуров (N_НК) и количество независимых узлов (N_НУ) или сечений взаимосвязано:

.

Узел-ветвь