14. Матричная запись уравнений Кирхгофа и Ома для сложных цепей.

Анализ сложных цепей, как изложенные выше примы и методы расчета, основан на трех уравнениях: законе Ома, первом и втором законах Кирхгофа. По мере роста числа элементов схемы, а современные требования в области микроэлектроники требуют порой анализа схем, содержащих 10⁵ элементов, сначала возникают трудности в решении систем уравнений, а затем и в их составлении. Решение столь больших систем уравнений производится на ЦВМ по стандартным программам. Здесь мы покажем приемы систематизации представления данных о схеме и формирования из этих данных систем уравнений, т.е. математических моделей схемы.

Выше было показано, что геометрию схемы можно описать в виде матриц:

К - контур-ветвь,

Р - узел-ветвь,

С - сечение-ветвь.

Непосредственно с помощью каждой из этих матриц можно записать оба закона Кирхгофа (см. Таблицу 1).

Таблица 1

	I закон	II закон
К-матрица
Р-матрица
С-матрица

В таблице обозначено ;;- соответственно транспонированныеK, C и Р матрицы.

; - токи и напряжения всех ветвей, сгруппированные в виде матриц-столбцов,

 - матрица-столбец сумм ЭДС, действующих в к-ом контуре,

 - матрица-столбец сумм токов источников токов, присоединенных к узлу,

- матрица-столбец узловых напряжений, т.е. напряжений узлов относительно “заземленного”,

 - матрица-столбец токов хорд (дополнений),

 - матрица-столбец напряжения на ветвях дерева,

 - матрица-столбец токов источников токов входящих в отсечение.

Это чисто топологические уравнения, конечно, не могут быть решены, т.к. не содержат связи между токами и напряжениями, т.е. не содержат информации о параметрах среды. Такую связь дают компонентные уравнения (закон Ома для участка цепи).

Введем матрицы параметров цепей. Для цепей постоянного тока после удаления индуктивностей и емкостей, как указано выше, и возможно некоторых эквивалентных преобразований (объединения последовательных и иногда параллельных резисторов) матрица представляет собой диагональную матрицу сопротивлений или проводимостей:

; 

, причем вследствие диагональности .

При синусоидальных токах и напряжениях при отсутствии взаимных индуктивностей получаются такие же матрицы с комплексными элементами:

; 

; ;или.

При наличии взаимных индуктивностей в матрице параметров появляются недиагональные члены: на месте пересечения m-ой строки и n-го столбца и n-й строки и m-го столбца: и. Появление недиагональных членов несколько затрудняет вычисление обратной матрицы. Помогает делу группирование элементов со взаимной индуктивностью в начале матрицы.

Для схемы, содержащей только ветви с сопротивлениями (R или ), уравнения первой строки таблицы 1 можно получить, если все источники тока преобразованы в источники ЭДС

15. Метод узловых потенциалов. Вывод уравнений.

В качестве определяемых переменных часто принимают потенциалы узлов относительно ”заземленного” узла, потенциал которого принят за ноль. Получим систему уравнений, которая выражает метод узловых потенциалов.

Рис. 5-1

Рассмотрим ветвь между двумя узлами “к” “m” (рис. 5-1). Для определенности будем считать, что она единственная. Если это не так, то можно провести предварительные преобразования параллельных ветвей. Второй закон Кирхгофа справедлив для сумм потенциалов точек (даже если между точками нет ветвей):

.

Отсюда

 - обобщенный закон Ома.

По первому закону Кирхгофа:

, т.е. сумма токов всех ветвей к-го узла.

Значит, для каждого узла:

или .

Поскольку от индекса “m” не зависит, а- сумма токов всех источников токавходящих в узел, если источники ЭДС преобразовывать в источники тока. Получим систему уравнений для схемы с (n+1) узлами:

или в матричном виде:

.

Матрица - симметричная относительно диагонали, по которой расположены суммы проводимостей всех ветвей, присоединенных к узлу:

.

Все недиагональные члены матрицы отрицательны:

и равны по величине проводимостям ветвей между к-ым и m-ым узлами.

После нахождения узловых потенциалов по обобщенному закону Ома находятся токи в ветвях. Формально систему уравнений легко получить из второй строки таблицы 1:

 и есть матрица узловых проводимостей.

Системы уравнений по методу контурных токов и узловых потенциалов применяются широко для доказательства некоторых теорем теории цепей и часто составляются непосредственно по заданной схеме.

Например, вывод формулы “двух узлов” при применении метода узловых потенциалов получается непосредственно:

.

Тому или другому методу отдается предпочтение в зависимости от того, чего больше в схеме: независимых узлов или независимых контуров.