Уравнения Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений.
Как
следствие непрерывности тока, закон
устанавливает, что суммарный ток,
втекающий в какой-либо замкнутый объем
равен суммарному вытекающему из этого
объема тока. В теории цепей под замкнутым
объемом понимается узел или отсечение.
Чаще всего I закон Кирхгофа формулируют
для любого узла: 
Для параллельного соединения резисторов (рис. 2-25) по I закону Кирхгофа.
Рис. 2-25
Значит
n параллельно соединенных резисторов,
с точки зрения остальной цепи, можно
заменить одним 
в
соответствии с соотношением.
или 
.
Для
двух резисторов часто применяется это
соотношение в виде:
.
Если
параллельно соединены конденсаторы,
то
,
т.е. 
.
При
соединении катушек индуктивности
,
Получим
.
II Закон Кирхгофа
Напомним, что напряжение на двухполюсных элементах это разность потенциалов на его зажимах
.
Рис. 2-26
Нетрудно убедиться, что для рис. 2-26
,
т.е. сумма напряжений на двухполюсниках любого замкнутого контура равна нулю. Конечно, это будет справедливо, если соблюдать правила знаков:
,
и
т.д.
Если какие-либо из двухполюсников представляют из себя источники ЭДС, то с учетом взаимного направления e и u можно записать контурное уравнение
.
В левой части ставятся напряжения со знаком плюс, совпадающие с направлением обхода контура, в правой - ЭДС, совпадающие с тем же направлением обхода. Для представления уравнений II закона Кирхгофа относительно тех же переменных (токов) используются приведенные выше компонентные уравнения.
Практическая запись уравнений Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений.
Электрическая цепь должна быть задана в виде соединенных определенным образом идеальных элементов. Для начала проводится индексация элементов и геометрический анализ.
Изобразив
граф схемы, подсчитываем количество
узлов схемы, нумеруем узлы, причем один
из узлов из перечня независимых исключаем,
присвоив ему нулевой номер. Выделяем
дерево графа. Вводим номера ветвей так,
что первые номера - номера хорд
(дополнений), а последние номера ветвей
дерева. Номера независимых контуров
считаем совпадающими с номерами хорд.
Проверяем соотношение 
.
Вводим условные положительные направления токов в ветвях, при этом есть смысл учитывать, что направления обхода контуров будем принимать по направлению тока в хордах. Все элементы, входящие в ветвь, равно как и ток этой ветви, естественно, получают индекс в виде номера ветви. Источники тока на графе отмечаются в виде подтекающих и вытекающих токов. Этим током присваиваются индексы, следующие за последним номером ветви графа.
Далее
записываются уравнения по I закону
Кирхгофав виде:
для
каждого узла, или при наличии источников
тока:
.
Знаки токов ветвей в сторону от узла
принимаются положительными. Токи
источников токов при этом в правую часть
уравнения ставятся со знаком “плюс”,
если они направлены к узлу.
Составлять уравнения по I закону Кирхгофа удобно по ориентированному графу.
Уравнения
по II закону Кирхгофа для каждого из
независимых контуров (
)
записывается относительно тех же
неизвестных токов с использованием
компонентных уравнений:
;
;
.
При наличии индуктивных связей между катушками m-й n-ой ветви:
.
Правила
знаков: соответствующее напряжение
ставится со знаком “плюс”, если
направление обхода контура совпадает
с условным положительным направлением
тока; в противном случае ставится знак
“минус”. Перед коэффициентом взаимной
индукции 
ставится
знак “плюс”, если выбранные условные
положительные направления токов
обуславливают сложение магнитных
потоков в соответствующих индуктивностях,
в противном случае ставится знак “минус”.
Пример.
(рис. 2-32)
схема
граф и дерево
Рис. 2-32