I закон Кирхгофа

1. ,

2. ,

3. .

II закон Кирхгофа

1. 

,

2. 

.

Продифференцировав уравнения 4 и 5, получим систему из пяти независимых дифференциальных уравнений, каждое из которых не выше второго порядка. Такая система разрешима относительно токов ветвей, если известны начальные условия (токи в катушках и напряжения на обкладках конденсаторов).

Трудности решения подобной системы уравнений существенно зависят от следующих обстоятельств:

1. Линейность уравнений, если коэффициенты (параметры цепи) не зависят от токов и напряжений.

2. Параметры цепи не зависят от времени. В этом случае получаем систему интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

При этом наличие зависимых источников:

;;;.

не нарушают линейность системы, если - постоянные величины.

3. В зависимости от характера функций времени независимых переменных e(t)иJ(t), применяя тот или иной математический аппарат, можно существенно упростить получение результата анализа.

В электротехнике широкое применение находят следующие сигналы (независимые переменные):

1. Постоянные токи и напряжения и.

2. Синусоидальные сигналы

;.

3. Периодические несинусоидальные сигналы

;.

4. Обобщенные переменные сигналы комплексной частоты s

;.

Приемы практического отыскания зависимых переменных, если применять соответствующий математический аппарат имеют много общего. Это будет показано при дальнейшем изложении курса.

5. Расчет простых цепей при постоянных токах и напряжениях. Эквивалентные преобразования пассивных и активных двухполюсников.

Система уравнений (дифференциальных), составленная по законам Кирхгофа является достаточной для анализа цепи при любых сигналах. Если ине зависят от времени, то и реакции цепи,также будут постоянными, если речь идет об установившемся процессе. В дифференциальных уравнениях;. Поскольку, то, т.е. любая индуктивность должна быть на схеме заменена закороткой., поэтому любая ветвь с конденсатором должна быть разомкнута. Если в результате анализа требуется определить ток через индуктивность и напряжение на конденсаторе, то надо будет искать ток, протекающий по соответствующей закоротке, и напряжение на разрыве цепи, где был конденсатор.

В результате таких схемных преобразований останутся источники ЭДС и тока и резисторы. Описание преобразованной схемы по Кирхгофу даст систему алгебраических уравнений. Процедура преобразований в схеме конечно проще, чем процедура составления дифференциальных уравнений и затем преобразования их к алгебраическим. Однако идея эквивалентных преобразований схемы имеет гораздо более широкое применение. Ниже приводится широко распространенные приемы преобразований, используемые при анализе цепей.

На рисунке показана процедура анализа фрагмента цепи состоящей из двух последовательно соединенных резисторов и.

1. эквивалентная замена.

2. - закон Ома.

3. ,- закон Ома.

4. и.

Конечно, практически нет необходимости так подробно это записывать. Обычно для полного анализа сразу вычисляют:

, и.

последние две формулы являются формулами делителя напряжения.

1. Эквивалентная замена:

 или ;

2. По закону Ома:

;

3. Формулы делителя тока:

;

.

Существенно расширяются возможности применения метода преобразований, если освоить применение преобразований треугольника в трехлучевую звезду.

Например, решить задачу анализа мостовой схемы непосредственно затруднительно. Но если три сопротивления ,,преобразовать в сопротивления,,, то дальше задача решается просто (см. рис. 3-4). Часто требуется и обратное преобразование