10.Синусоидальные токи и напряжения, из изображения векторами и комплексными числами.

Синусоидальный сигнал - это периодические, изменяющиеся во времени ток, напряжение или ЭДС.

,

,

,

; ;- соответствующие амплитудные значения- круговая частота,

f- частота, T - период, ;;- начальные фазы функции.

Изображение синусоидальной функции в виде вращающегося с угловой скоростью вектора заложено в самом определении синуса как ординаты конца радиуса окружности единичного радиуса, проведенной через начало координат.

Рис. 4-2

На рис. 4-2 изображены две синусоидальные функции иодинаковой частоты. Слева проведены (из одного центра) две окружности радиусоми, и обозначены вращающиеся с угловой скоростьюдва вектора с учетом начальных фази. Угол между ними равен.

Принято 0, если. Если подразумевать, что вектора вращаются с угловой скоростью, то они содержат всю информацию о синусоидальных функцияхи- их величины равныи, а начальные фазы -и.

Изобразив не величины и, а,, получим векторную диаграмму, т.е. относительное расположение векторови, которое сохраняет уголне зависимо от конкретного значенияt. Это называется векторной диаграммой.

Перенесем вектора на комплексную плоскость (рис. 4-3).

Рис. 4-3

Если иметь в виду, что оператор означает поворот вектора на комплексной плоскости на уголпротив часовой стрелки, то получим для тока, где, векторполностью сохраняет информацию о синусоидальной функции:- амплитуда,- начальная фаза. Это обычно записывается:

.

Множитель можно опускать т.к. эти вектора будут применяться в законах Ома и Кирхгофа (и их комбинациях), и он содержится как в левой, так и в правой части уравнений и в результате сокращения просто излишен.

В тригонометрической форме:

,

поэтому для обратного перехода от комплексного изображения к функции времени достаточно с учетом ивзять коэффициент при мнимой части комплексного изображения.

Практически применяются комплексные изображения в различных формах:

- алгебраическая,

 - тригонометрическая,

 - показательная, где ;.

Иногда применяют условную запись:

.

Вспомним операцию дифференцирования:

,

с учетом того, что

получим

,

т.е. изображению производной на комплексной плоскости соответствует умножение на .

Аналогично интегрированию в области изображений соответствует деление на 

.

Эти обстоятельства приводят к алгебраизации интегро-дифференциальных уравнений.

Решим для примера задачу нахождения тока в схеме (рис. 4-4) с применением разного математического аппарата.

Рис. 4-4

1. Непосредственное интегрирование.

Интегро-дифференциальное уравнение

.

Приняв ,

получим:

,

т.к. в правой части уравнения синусоидальная функция надо потребовать

,

.

Дальнейшие преобразования:

,

где ;;;

.

Из этого уравнения вытекает:

; ;.

Следовательно,

,

если (выбор начала отсчета времени), то

 - задача решена.

 - имеет размерность сопротивления.

R - активное сопротивление.

 - реактивное сопротивление.

 и - соответственно индуктивное и емкостное сопротивления.

 - сдвиг по фазе между напряжением и током.

Если , то- ток отстает от напряжения по фазе.

Если , то- ток опережает напряжение по фазе.

11. Двухполюсники при синусоидальных токах и напряжениях. Расчет цепей при различных соединениях двухполюсников. Векторные диаграммы.

Если в схеме элементы цепи заменить их комплексными сопротивлениями, то полученную схему всегда можно представить как соединение различных пассивных двухполюсников, характеризуемых парой чисел или, а источник тока и напряжения выразить в комплексной форме:

;.

При этом, как изложено выше, сохраняются все соотношения, полученные для схем постоянного тока, но в комплексном виде:

Закон Ома:

 .

Законы Кирхгофа:

 ;

.

Применяются также все правила знаков. Следовательно можно пользоваться и всеми приемами: преобразования цепей, делитель тока, делитель напряжения, принцип наложения, преобразование “треугольника” в “звезду” , метод эквивалентного генератора и т.д. Пользуясь правилами алгебры комплексных чисел, при анализе получаются результаты так же в комплексном виде:

;;.

При необходимости получения результатов вычисления токов и напряжений в виде действительных функций времени записывают сигналы в показательной форме, добавляют множитель вращения вектора и, выражают комплекс в тригонометрической форме и берут коэффициент при мнимой части. Например,

.

Баланс мощностей подводится отдельно для активных и реактивных мощностей:

и.

Существенную помощь в расчетах оказывает построение векторных диаграмм, как своеобразной замены потенциальных диаграмм при постоянных токах и напряжениях.