- •Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики бгита н.А. Часова
- •Понятие функции нескольких переменных
- •Предел функции. Непрерывность
- •Частные производные и дифференцируемость функции. Дифференциал
- •Производная по направлению. Градиент
- •Производная сложной функции
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Неявные функции
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Экстремумы функции двух переменных
- •Задачи о наибольших и наименьших значениях
- •Примеры решения задач
- •Задания для самостоятельного решения
- •Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •Контрольная работа по теме
- •«Двойной интеграл и его приложения»
- •Теоретическая часть
- •1. Определение двойного интеграла
- •Геометрический смысл двойного интеграла
- •2. Некоторые свойства двойного интеграла
- •3. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
- •4. Замена переменных в двойном интеграле
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Контрольная работа по теме «Криволинейные интегралы» Теоретическая часть
- •1. Определение криволинейного интеграла второго рода
- •2. Некоторые свойства криволинейного интеграла второго рода
- •3. Существование и вычисление криволинейных интегралов второго рода
- •4. Формула Грина-Остроградского
- •5. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования
- •Нахождение функции по ее полному дифференциалу
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Двойной интеграл и его приложения
- •Криволинейные интегралы
- •Литература
Задачи для самостоятельной работы
Задача 1. Найти интеграл.
1.1. , .
1.2. ,
1.3. , .
1.4. , .
1.5. ,
1.6. , .
1.7. , .
1.8. , .
1.9. ,
1.10. , .
Задача 2. Найти интеграл.
2.1. , .
2.2. , .
2.3. , .
2.4. , .
2.5. , .
2.6. , .
2.7. , .
2.8. , .
2.9. , .
2.10. , .
Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
3.1. .
3.2. .
3.3. .
3.4. .
3.5. .
3.6. .
3.7. .
3.8. .
3.9. .
3.10. .
Задача 4. Найти площадь фигуры, заданной неравенствами.
4.1. .
4.2. .
4.3. .
4.4. .
4.5. .
4.6. .
4.7. .
4.8. .
4.9. .
4.10. .
Контрольная работа по теме «Криволинейные интегралы» Теоретическая часть
Существует два вида криволинейных интегралов. По аналогии с обычным определенным интегралом строятся так называемые криволинейные интегралы первого рода. Эти интегралы нашли своё приложение и в геометрии (вычисление площадей цилиндрических поверхностей, длин кривых), и в физике (нахождение массы кривой с переменной плотностью). Но при изучении многих разделов самой математики (дифференциальные уравнения, ТФКП и др.) чаще применяются сведения из теории криволинейных интегралов второго рода.
Поэтому остановимся только на рассмотрении криволинейных интегралов второго рода.
1. Определение криволинейного интеграла второго рода
Пусть в плоскости (XOY) задана спрямляемая кривая (АВ) и вдоль нее определена функция f(x,y). Кривую (АВ) разобьем на n частей произвольным образом точками . На каждой частичной дуге выберем произвольно точку . Обозначим через и направленные проекции дуги на оси координат, - длина частичной дуги . Обозначим разбиение через T. Составим сумму:
. (1)
Сумма (1) называется интегральной суммой для функции f(x,y) на кривой (АВ) по координате x.
Обозначим через - максимум длин частичных дуг.
Определение 1. Число I называется пределом интегральной суммы при , то есть , если
: .
Определение 2. Если существует конечный предел интегральной суммы при , то он называется криволинейным интегралом по координате x от функции f(x,y), взятым по кривой (АВ). Функция f(x,y) называется интегрируемой вдоль кривой (АВ) по координате x, если для нее вдоль этой кривой существует криволинейный интеграл по x.
Обозначение: . Таким образом, по определению
. (2)
Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции f(x,y) по координате y, взятый по кривой (АВ):
Криволинейные интегралы по координатам x и y называются криволинейными интегралами второго рода.
Определение 3. Если вдоль кривой (АВ) заданы две функции P(x,y), Q(x,y), и существуют и , то сумма этих интегралов также называется криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и обозначается:
.
Замечание. Если на кривой (АВ) поменять направление интегрирования на противоположное, то и знак криволинейного интеграла второго рода также изменится на противоположный. Это происходит потому, что в интегральных суммах изменится на противоположный знак (). Таким образом, криволинейные интегралы второго рода от одной и той же функции f(x,y), взятые по одной и той же кривой (АВ), но в противоположных направлениях, равны по модулю, но противоположны по знаку:
.
Следовательно, при вычислении криволинейных интегралов второго рода необходимо учитывать направление интегрирования. Из двух направлений по кривой одно считается «положительным», другое - «отрицательным».
Если кривая интегрирования представляет собой простой замкнутый контур, то за «положительное» направление обхода контура принимается направление против часовой стрелки, за «отрицательное» направление - направление по часовой стрелке. В более сложных случаях за «положительное» направление обхода принимается то направление, при котором область, ограниченная этим контуром, остается всё время слева.
Обозначения интегралов по замкнутому контуру: , .