- •Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики бгита н.А. Часова
- •Понятие функции нескольких переменных
- •Предел функции. Непрерывность
- •Частные производные и дифференцируемость функции. Дифференциал
- •Производная по направлению. Градиент
- •Производная сложной функции
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Неявные функции
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Экстремумы функции двух переменных
- •Задачи о наибольших и наименьших значениях
- •Примеры решения задач
- •Задания для самостоятельного решения
- •Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •Контрольная работа по теме
- •«Двойной интеграл и его приложения»
- •Теоретическая часть
- •1. Определение двойного интеграла
- •Геометрический смысл двойного интеграла
- •2. Некоторые свойства двойного интеграла
- •3. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
- •4. Замена переменных в двойном интеграле
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Контрольная работа по теме «Криволинейные интегралы» Теоретическая часть
- •1. Определение криволинейного интеграла второго рода
- •2. Некоторые свойства криволинейного интеграла второго рода
- •3. Существование и вычисление криволинейных интегралов второго рода
- •4. Формула Грина-Остроградского
- •5. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования
- •Нахождение функции по ее полному дифференциалу
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Двойной интеграл и его приложения
- •Криволинейные интегралы
- •Литература
Примеры решения задач
Пример 1. Найти область определения функции .
Решение. Для того, чтобы z имело действительное значение, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, т.е. x и y должны удовлетворять неравенству или . Таким образом, область определения данной функции - это множество точек, лежащих внутри и на границе круга радиуса 1 с центром в начале координат.
Графиком функции является полусфера радиуса 1 с центром в начале координат, расположенная выше плоскости XOY.
Пример 2. Найти и изобразить область определения функции .
Решение. Т. к. логарифмическая функция определена только при положительном значении аргумента, то область определения функции находим из системы Она равносильна неравенству или , которому удовлетворяет множество точек плоскости, лежащих между двумя прямыми y=x, y=-x, кроме точек этих прямых.
Пример 3. Вычислить предел .
Решение. Умножая числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, получим:
.
Пример 4. Существует ли предел ?
Решение. Пусть точка M(x;y) стремится к точке O(0;0) по прямой y=kx, проходящей через точку . Тогда получим
.
Таким образом, приближаясь к точке O(0;0) по различным направлениям, соответствующим разным значениям k, получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке O(0;0) не существует.
Пример 5. Доказать, что функция не имеет предела в точке O(0;0).
Решение. Перейдем к полярным координатам: , . Тогда функция f(x;y) примет вид:
. (*)
Если бы существовал предел , то . Но из (*) очевидно, что такого числа А не существует.
Пример 6. Вычислить .
Решение. Перейдем к полярным координатам с центром в точке O(0;0): , . Имеем . Т.к. функция ограничена , то
.
Пример 7. Найти точки разрыва функции .
Решение. Ясно, что функция может иметь разрыв лишь в точках, где знаменатель обращается в нуль. Решая уравнение относительно у, получаем , . Значит, данная функция имеет разрывы на прямой и параболе.
Пример 8. Найти частные производные функции z=xy (x>0).
Решение. При вычислении частной производной функции z по переменной x рассматриваем функцию z как функцию только одной переменной x, т.е. считаем, что y имеет фиксированное значение. При фиксированном y функция z=xy является степенной функцией аргумента x. По формуле дифференцирования степенной функции получаем: . Аналогично, при вычислении частной производной считаем, что фиксировано значение x, и рассмотрим функцию z=xy как показательную функцию аргумента y. Получаем .
Пример 9. Найти полный дифференциал функции в точке М(2;-2;1).
Решение. По определению Вычислим частные производные функции в точке М:
; ;
; ;
; .
Следовательно, полный дифференциал в точке М равен
.
Пример 10. Дана функция .
а) Определить градиент в точке М(1;1;1).
б) Найти производную в точке М(1;1;1) в направлении вектора .
Решение. а) Найдем частные производные функции u в точке M:
; ; .
Следовательно, .
б) Найдем направляющие косинусы вектора .
, . Частные производные функции u в точке M вычислены выше. Тогда по формуле (3)
.
Пример 11. Найти производную функции в точке М(1;1;-1) по направлению градиента функции в этой точке.
Решение: а) Для вычисления градиента функции найдем ее частные производные в точке М(1;1;-1):
; ; .
Итак, .
б) Найдем направляющие косинусы вектора градиента .
. Тогда .
в) Вычислим частные производные функции f в точке M.
; ;.
Получаем .
Пример 12. Определить угол между градиентами функции в точках А(;0;0) и В(0;;0).
Решение: Имеем , , . Тогда
, .
Отсюда длины градиентов ,. Скалярное произведение градиентов . Тогда . Следовательно, .
Пример 13. Найти и , если
Решение. Данная функция является функцией двух независимых переменных x и y. Переменные u и v – промежуточные. По формулам (5) получаем:
Пример 14. Найти , если .
Решение. Исходная функция есть функция одной независимой переменной t; переменные x и y являются промежуточными. Поэтому производную найдем по формуле (6):
Получаем:
=
Подставив в полученное выражение вместо x и y соответственно и , окончательно получим:
Пример 15. Найти для функции , где .
Решение. Данная функция является функцией вида где . Тогда
.
Пример 16. Найти частные производные второго порядка функции .
Решение. Вначале найдем частные производные первого порядка:
, .
Продифференцировав их еще раз, получим:
;
;
;
.
Сравнивая последние два выражения, видим, что .
Пример 17. Найти полный дифференциал второго порядка функции .
Решение. Находим частные производные второго порядка:
, ;
, , .
Следовательно, по формуле (7) .
Пример 18. Найти производную функции, заданной неявно уравнением
Решение. Перепишем данное уравнение в виде . Здесь то есть n=1, и данное уравнение задаёт неявно y как функцию от х: y=y(x).
Преобразуем это выражение, используя исходное уравнение . Из него получаем и, следовательно, . Тогда
Пример 19. Найти производные первого и второго порядков для функции, заданной неявно уравнением .
Решение. Находим частные производные 1-го порядка для функции z(x,y), заданной неявно уравнением F(x,y,z)=0, где .
; .
Учитывая, что z=z(x,y), находим вторые производные:
Пример 20. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке М0(1;2;-1).
Решение. Вычислим значения частных производных в точке М0(1;2;-1):
Подставляя их в уравнения (12) и (13), получаем соответственно уравнение касательной плоскости и уравнение нормали .
Пример 21. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке, для которой .
Решение. Прежде всего, определим аппликату точки касания из условия, что точка лежит на поверхности. Подставив в данное уравнение поверхности х=1 и у=1, получим . Следовательно, точкой касания является точка М0(1;1;3). Т.к. уравнение поверхности разрешено относительно z, то касательная плоскость определяется уравнением (10), а нормаль – уравнением (11).
Вычислим значения частных производных функции в точке (1;1):
; .
Получаем уравнение касательной плоскости или
и уравнение нормали .
Пример 22. Исследовать на экстремумы функцию .
Решение. Найдем частные производные первого порядка и приравняем их к нулю: , ,
Отсюда получаем четыре критические точки , , , . Вычислим вторые частные производные:
, , .
В точке имеем: , , . Получаем . Т.к. , то является точкой локального минимума.
В точке , , , . Откуда . Т.к. A=-10<0,то M2 является точкой локального максимума.
В точке имеем: A=-2, B=4, C=0. В точке : A=-2, B=-4, C=-2. В этих точках , поэтому в точках и экстремумов нет.
Пример 23. Найти локальные экстремумы функции .
Решение. Областью определения функции является вся плоскость . Найдем частные производные:; .
Частные производные не существуют в точке , значит, эта точка является критической. Чтобы определить, имеет ли функция экстремум в точке , исследуем знак в некоторой окрестности рассматриваемой точки:
. Очевидно, что в любой окрестности точки . Значит, в этой точке функция имеет локальный минимум .
Пример 24. Найти локальные экстремумы функции, заданной неявно уравнением .
Решение. Для определения точек составляем систему (см. формулу (14)):
Из этой системы находим . Для проверки достаточных условий находим .
Т.к. , то , ,
, , .
В точке (1,-1,-2): , . Т.к. , то точка
(1,-1,-2) - точка локального минимума. В точке : .
. Т.к. , то точка - точка локального максимума.
Итак, .
Пример 25. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x2+y2-xy+x+y в области, ограниченной линиями x=0, y=0, x+y=-3.
Решение.1) Найдем критические точки внутри области D.
Для этого вычислим и и решим систему уравнений
Получаем , т.е. - критическая точка, .
2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области. На прямой OB, где х=0, уравнение исходной функции примет вид: , где . Следовательно, задача сводится отысканию наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной на отрезке .
Находим , при . Получаем точку , .
На концах отрезка OB: ;.
Аналогично на прямой ОА, где у=0, имеем . Находим критическую точку:, при . Следовательно,-критическая точка,. В точке А .
Рассмотрим отрезок АВ прямой . Подставив в исходное уравнение, получим ; . Ясно, что при . -критическая точка, . Значения функции на концах отрезка АВ уже найдены.
Сравнивая все полученные значения функции z, заключаем, что в точках и , в точке .
Пример 26. Определить размеры прямоугольного параллелепипеда наибольшего объема, полная поверхность которого имеет данную площадь S.
Решение. Объем прямоугольного параллелепипеда , где x, y, z - измерения параллелепипеда, а площадь его поверхности . Отсюда находим . Подставляя это выражение в формулу объема параллелепипеда, получим функцию двух переменных x, y : .
Найдем экстремум этой функции
Т.к. (по смыслу задачи), то из этой системы следует, что . Вычисляя вторые частные производные, получаем:
, , .
Отсюда , . Тогда .Т.к., то при функция V=xy имеет локальный максимум. Далее находим . Таким образом, наибольший объем имеет куб с ребром, равным .