- •Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики бгита н.А. Часова
- •Понятие функции нескольких переменных
- •Предел функции. Непрерывность
- •Частные производные и дифференцируемость функции. Дифференциал
- •Производная по направлению. Градиент
- •Производная сложной функции
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Неявные функции
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Экстремумы функции двух переменных
- •Задачи о наибольших и наименьших значениях
- •Примеры решения задач
- •Задания для самостоятельного решения
- •Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •Контрольная работа по теме
- •«Двойной интеграл и его приложения»
- •Теоретическая часть
- •1. Определение двойного интеграла
- •Геометрический смысл двойного интеграла
- •2. Некоторые свойства двойного интеграла
- •3. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
- •4. Замена переменных в двойном интеграле
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Контрольная работа по теме «Криволинейные интегралы» Теоретическая часть
- •1. Определение криволинейного интеграла второго рода
- •2. Некоторые свойства криволинейного интеграла второго рода
- •3. Существование и вычисление криволинейных интегралов второго рода
- •4. Формула Грина-Остроградского
- •5. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования
- •Нахождение функции по ее полному дифференциалу
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Двойной интеграл и его приложения
- •Криволинейные интегралы
- •Литература
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Если поверхность задана уравнением z=f(x,y), то уравнение касательной плоскости в точке к данной поверхности имеет вид:
(10)
а уравнение нормали, проведенной через точку поверхности, записанное в каноническом виде:
(11)
В случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде F(x;y;z)=0 и F(x0;y0;z0)=0, то уравнение касательной плоскости в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид
(12)
а уравнение нормали
(13)
Экстремумы функции двух переменных
Пусть функция z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М0(х0;у0).
Определение 1. Говорят, что функция z=f(x;y) имеет в точке М0(х0;у0) локальный максимум, если для всех точек M(x;y), из некоторой окрестности точки М0(х0;у0).
Определение 2. Говорят, что z=f(x;y) в точке М0(х0;у0) имеет локальный минимум, если для всех точек M(x,y), из некоторой окрестности М0(х0;у0).
Локальный максимум и локальный минимум функции называются экстремумами функции.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция z=f(x,y) достигает экстремума в точке М0(х0;у0), то ее частные производные первого порядка равны в этой точке нулю, то есть и .
Определение 3. Точки, в которых частные производные функции равны нулю (или не существуют) называются критическими точками функции.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть в некоторой области, содержащей точку М0(х0;у0), функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Пусть М0(х0;у0) является критической точкой, то есть и .
Обозначим .
Тогда
1) если то имеет в точке М0(х0;у0) экстремум, причем при A<0 (C<0)- локальный максимум, при - локальный минимум;
2) если , то точка М0(х0;у0) не является точкой экстремума;
3) если , то никакого заключения о характере критической точки сделать нельзя, требуются дополнительные исследования.
Экстремумы неявно заданной функции
Если неявная функция определяется уравнением , то .
Пусть функция y дважды непрерывно дифференцируема в . Тогда в критической точке справедливы равенства:
,
,, где .
Поскольку справедливо и обратное утверждение, то критические точки могут быть найдены из системы .
Пусть уравнение F(x;y;z)=0 задает неявно функцию z=f(x;y). Пусть функция z дважды непрерывно дифференцируема в . Тогда критические точки находятся из системы:
(14)
Достаточные условия экстремума формулируются так же, как в случае явного задания функции.
Задачи о наибольших и наименьших значениях
Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x;y) в некоторой замкнутой области .
При решении этой задачи целесообразно придерживаться следующего плана:
1. Найти критические точки внутри области и значения функции в них.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения на границе области . Для этого границу области следует задать либо одним уравнением, либо параметрически. Тогда на границе исходная функция будет функцией одной переменной.
3. Если в области D существуют точки, в которых функция не дифференцируема, то надо найти значения функции в них.
4. Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.