Производная по направлению. Градиент

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.

Пусть в области D задано скалярное поле, т.е. задана функция u=u(x;y;z). Возьмем точку M(x;y;z) проведем из точки M вектор , направляющие косинусы которого, т.е. косинусы углов между и осями Ox, Oy, Oz обозначим cosα, cosβ, cos. На векторе на расстоянии s от его начала рассмотрим точку . Ясно, что .

Пусть функция u=u(x;y;z) дифференцируема в точке M(x;y;z). Тогда ее полное приращение в этой точке имеет вид:

,

где ₁, ₂, ₃,стремятся к нулю при . Все члены последнего равенства разделим на :

; или , (2)

поскольку геометрические рассмотрения дают ,, .

Определение. Предел отношения при называется производной от функции u=u(x;y;z) в точке M(x;y;z) по направлению вектора и обозначается , т.е. .

Переходя к пределу в равенстве (2), получим следующее правило вычисления производной по любому направлению : если функция u=u(x;y;z) дифференцируема, то ее производная по направлению существует и равна

, (3)

где cosα, cosβ, cos - направляющие косинусы вектора .

Пусть на открытом множестве задана функция u=u(x;y;z). В каждой точке области D определим вектор, координатами которого будут служить значения частных производных функции u в соответствующей точке. Этот вектор называется градиентом функции u=u(x;y;z) и обозначается .

Таким образом, .

Говорят, что в области D определено векторное поле градиента.

Теорема. Пусть дано скалярное поле u=u(x;y;z) и определено его поле градиента . Производная по направлению вектора равняется проекции вектора на вектор , то есть .

Свойства градиента

1. .

2. , где c- постоянная.

3. .

4. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно .

5. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

Производная сложной функции

Определение 1. Пусть (4)

где v₁=f₁(x₁,…,x_m), v₂=f₂(x₁,…,x_m),…, v_n=f_n(x₁,…,x_m) Предположим, что область определения и значения функций F, f₁ , f₂, …, f_n связаны между собой так, что указанная суперпозиция имеет смысл. Тогда функция u называется сложной функцией независимых переменных x₁, x₂,…, x_m. Переменные v₁, v₂,…, v_n называются промежуточными аргументами.

Частная производная сложной функции по одной из независимых переменных равна сумме произведений частных производных по промежуточным аргументам и производных этих аргументов по данной независимой переменной:

(5)

Короче производную можно записать в виде:

(i=1,2,…,m).

Если все промежуточные аргументы являются функциями одной независимой переменной t, то функция (4) будет сложной функцией от t. Производная называется полной производной функции (в отличие от частной производной ). Полная производная этой функции по t будет находиться по формуле:

. (6)