Задания для самостоятельного решения
Задача 1. Найти области определения указанных функций.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
Задача 2. Вычислить пределы функций.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
Задача 3. Найти дифференциалы первого и второго порядков указанных функций.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
Задача 4.
-
Найдите производную функции
в точке А(2;1)
по направлению, образующему угол
с осью Ох. -
Найдите производную функций
в точке М(1;2;3)
по направлению вектора
. -
Найдите производную функции
в
точке М(3;1)
в направлении, идущем от этой точки к
точке (6;5). -
Найдите производную функции
в точке M(1;1;2)
в направлении образующем с осями
координат углы соответственно в
,
,
. -
Докажите, что производная функции
в
направлении ее градиента равна модулю
градиента. -
Найдите производную функции
в точке M(2;1;2)
по направлению градиента функции
в этой точке. -
.
Найдите
в
точке (3;2). -
Каково направление наибольшего изменения функции
в начале координат? -
Даны функции
и
.
Найдите угол между градиентами этих
функций в точке (3;4). -
Найдите точки, в которых модуль градиента функции
равен 2. -
Найдите производную функции
в точке
А(1;1)
по
направлению
вектора АВ,
где
В(4;-2). -
Найти производную функции
в точке М(-4;3;-1)
в направлении вектора
. -
Найдите производную функции z=arctgx в точке (1;1) в направлении биссектрисы первого координатного угла.
-
Найдите
в
точке (2;1). -
Найдите производную функции
в начале координат в направлении луча,
образующего угол
с
осью абсцисс. -
.
Найдите угол между градиентами этой
функции в точках (1;1) и (3;4). -
Найти угол между градиентами функций u=x2yz3 и
в точке
. -
Найдите производную функции
в точке (2;1) в направлении, идущем от
этой точки к началу координат. -
Найдите точку, в которой градиент функции
равен
. -
Найдите производную функции
в точке A(5;1;2)
в направлении, идущем от этой точки к
точке B(9;4;14).
Задача 5.
5.1.
Найти
.
5.2.
.
Найти
.
5.3.
.
Найти
,
.
5.4.
.
Найти
,
.
5.5.
Найти
,
.
5.6.
Найти
,
если
5.7.
Найти
.
5.8.
Найти
,
,
du.
5.9.
Найти
,
.
5.10.
Найти
,
.
5.11.
Найти
,
.
5.12.
Найти
,
.
5.13.
Найти
.
5.14.
Найти
.
5.15.
Найти
,
если
5.16.
Найти
,
.
5.17.
z=xlny,
x=2u+v,
y=u-v2.
Найти
,
.
Задача 6.
Уравнение задает неявно функцию y=y(x). Найти y, y.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
Уравнение задает неявно функцию z=z(x;y). Найти частные производные первого порядка и любую частную производную второго порядка
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
Задача 7. Составить уравнения касательных плоскостей и нормалей к следующим поверхностям в заданной точке.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
,
М0(1;2;2)
7.9.
7.10.
7.11.
,
7.12.
7.13.
,
М0(2;1;4)
Задача 8. Исследуйте функции на экстремум.
8.1.
8.2.
8.3
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
8.12.
8.13.
8.14.
8.15.
8.16.
8.17.
8.18.
8.19.
8.20.
Задача 9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области.
9.1..
9.2.
9.3. ..
9.4.
9.5..
9.6.
,
.
9.7.
,
.
9.8.
,
.
9.9.
9.10.
в треугольнике, ограниченном прямыми
х=0,
у=0,
.
9.11.
,
.
9.12. Определите размеры прямоугольного параллелепипеда с заданной суммой длин его ребер а, имеющего наибольший объем.
9.13. Докажите, что из всех четырехугольников, описанных вокруг круга радиуса R, наименьшую площадь имеет квадрат.
9.14. Найдите треугольник, периметр которого равен 2p и который при вращении относительно одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.
9.15. В данный круг впишите треугольник так, чтобы сумма квадратов длин его сторон была наибольшей.
9.16. Найдите наибольшую площадь прямоугольника с данным периметром 2p.
9.17. Данное положительное число а разложите на 3 слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
9.18. Из всех треугольников с одним и тем же углом при вершине C и основанием c выберите треугольник с наибольшим периметром.