- •Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики бгита н.А. Часова
- •Понятие функции нескольких переменных
- •Предел функции. Непрерывность
- •Частные производные и дифференцируемость функции. Дифференциал
- •Производная по направлению. Градиент
- •Производная сложной функции
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Неявные функции
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Экстремумы функции двух переменных
- •Задачи о наибольших и наименьших значениях
- •Примеры решения задач
- •Задания для самостоятельного решения
- •Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •Контрольная работа по теме
- •«Двойной интеграл и его приложения»
- •Теоретическая часть
- •1. Определение двойного интеграла
- •Геометрический смысл двойного интеграла
- •2. Некоторые свойства двойного интеграла
- •3. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
- •4. Замена переменных в двойном интеграле
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Контрольная работа по теме «Криволинейные интегралы» Теоретическая часть
- •1. Определение криволинейного интеграла второго рода
- •2. Некоторые свойства криволинейного интеграла второго рода
- •3. Существование и вычисление криволинейных интегралов второго рода
- •4. Формула Грина-Остроградского
- •5. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования
- •Нахождение функции по ее полному дифференциалу
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Двойной интеграл и его приложения
- •Криволинейные интегралы
- •Литература
2. Некоторые свойства криволинейного интеграла второго рода
Для краткости формулировок рассмотрим свойства криволинейного интеграла только для интеграла по переменной x, то есть для .
Свойство 1. Если функция f интегрируема вдоль кривой (АВ), , то функция также интегрируема вдоль кривой (АВ) и справедливо равенство:
.
Свойство 2. Если функции f и g интегрируемы вдоль кривой (АВ), то функция также интегрируема вдоль кривой (АВ) и справедливо равенство:
.
Свойство 3 (аддитивность). Если функция f интегрируема вдоль кривой (АВ), то функция f интегрируема вдоль кривых (АС) и (СВ) и справедливо равенство:
Свойство 4. Если функция f интегрируема вдоль кривой (АВ), то она интегрируема вдоль кривой (ВА) и справедливо равенство:
Свойство 5. Если функция f интегрируема по замкнутому контуру (L), то величина криволинейного интеграла не зависит от того, какую точку контура принять за начальную.
3. Существование и вычисление криволинейных интегралов второго рода
Теорема. Пусть кривая (L)=(AB) задана параметрическими уравнениями , где , - непрерывно дифференцируемые функции на , Пусть функции , P(x,y), Q(x,y) непрерывны на кривой (L). Тогда существуют интегралы , и справедливы равенства:
; ;
.
Замечание 1. Пусть кривая (АВ) задана явным уравнением , где функция непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b], , . Тогда если функция f непрерывна на кривой (АВ), то справедлива формула: .
Замечание 2. Если кривая (АВ) представляет собой прямолинейный отрезок, параллельный оси OY, то .
(Это следует из того, что в интегральных суммах . Тогда и .)
Аналогично, если кривая (АВ) есть отрезок, параллельный оси OX, то .
4. Формула Грина-Остроградского
Формула Грина-Остроградского связывает двойной интеграл по области (P) с криволинейным интегралом по границе (L) этой области.
Область (P) называется простой, если она одновременно является простой областью I типа и II типа. Очевидно, что любая прямая, параллельная осям координат, пересекает простую область не более чем в двух точках.
Теорема. Пусть (P) простая область (или область, представимая в виде конечного числа простых областей), (L) - ее контур. Тогда если P(x,y), Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными , на замкнутой области (P), то справедлива формула:
(3)
где интегрирование по контуру (L) ведётся в положительном направлении.
Формула (3) называется формулой Грина-Остроградского.
Из формулы Грина-Остроградского можно вывести формулу для вычисления площади плоской области (P) с границей (L):
где интегрирование по контуру (L) ведётся в положительном направлении.
5. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования
Все рассматриваемые кривые предполагаются кусочно-гладкими.
Определение 1. Область называется связной, если любые две точки области можно соединить ломаной, целиком лежащей в этой области.
Определение 2. Связная область (D) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в (D), ограничивает область, также целиком лежащую в (D). (Проще: односвязная область не имеет «дыр»).
Пусть на области (D) заданы две непрерывные функции P(x,y) и Q(x,y). Возьмем любые две точки и зафиксируем их. Соединим A и B всевозможными кривыми (L), лежащими в области (D). Тогда интеграл
(1)
будет иметь различные значения в зависимости от кривой (L).
Определение 3. Если для любых фиксированных точек значение криволинейного интеграла (1) по любой кривой, лежащей в области (D) и соединяющей точки A и B, одно и тоже, то говорят, что интеграл (1) не зависит от пути интегрирования на области (D). В этом случае значение интеграла (1) определяется только заданием точек A и B.
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования на области (D) задаются следующими теоремами.
Теорема 1. Для того чтобы криволинейный интеграл (1) не зависел от пути интегрирования на области (D) необходимо и достаточно, чтобы он был равен нулю по любому замкнутому контуру, лежащем в области (D).
Теорема 2. Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными и на области (D). Для того чтобы криволинейный интеграл (1) на области (D) не зависел от пути интегрирования необходимо, а в случае односвязности области (D) и достаточно, чтобы во всех точках области (D) выполнялось равенство .
Теорема 3. Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны на области (D). Для того чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение являлось полным дифференциалом некоторой функции F(x,y), определенной на области (D), т.е.
.
Из теорем 2 и 3 существует важное следствие.
Следствие. Пусть на односвязной области (D) функции непрерывны. Для того чтобы на области (D) выражение было полным дифференциалом некоторой функции необходимо и достаточно, чтобы на области (D) выполнялось следующее условие .
Определение. Функция F(x,y) называется первообразной дифференциального выражения на области (D), если на этой области .
Если F(x,y) является первообразной выражения на области (D), то также является первообразной для выражения , то есть выражение имеет бесконечно много первообразных. Их общий вид .
В ходе доказательства теоремы 3 обосновывается, что одной из первообразных для выражения является функция
,
где - некоторая произвольная фиксированная точка области (D).
Тогда общий вид первообразных для выражения :
.
Заметим, что в этом равенстве интеграл не зависит от пути интегрирования на области (D).