Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. Вычислить интеграл

1.1. , где (L) – дуга кривой от точки (0;0) до точки (1;1).

1.2. , где (L) – дуга окружности , лежащая в первой четверти, пробегаемая от точки (R;0) до точки (0;R).

1.3. , где (L) – окружность x²+y²=а², пробегаемая против хода часовой стрелки.

1.4. , где (L) – верхняя полуокружность x²+y²=2x, пробегаемая против хода часовой стрелки.

1.5. , где (L) – первая арка циклоиды x=a(t-sin t), y=a(1-cost).

1.6. от точки (0;0) до точки (1;2) по кривой .

1.7. , где (L) - эллипс , пробегаемый против хода часовой стрелки.

1.8. Вычислить вдоль прямой линии.

1.9. от точки (0;0) до точки (1;2) по кривой y=2x².

1.10. , где (L) – парабола y=x², –1х1.

1.11. по дуге циклоиды x=a(t-sin t), y=a(1-cost), от точки до точки .

Задача 2. Вычислить криволинейный интеграл с помощью формулы Грина-Остроградского или непосредственно по теореме о вычислении криволинейных интегралов второго рода. Интегрирование ведется в положительном направлении.

2.1. где (L) - окружность .

2.2. где (L) - окружность .

2.3. , где (L) – дуга параболы , расположенная над осью OX и пробегаемая по ходу часовой стрелки.

2.4. , где (L) – контур прямоугольника 1х4, 0y2.

2.5. (L) - контур ОАВО.

2.6. где (L) - окружность .

2.7. , где (L) – контур треугольника OAB c вершинами

2.8. , где (L) – контур треугольника OAB:

2.9. где (L) - окружность .

2.10. , где (L) – контур треугольника со сторонами х=0, y=0, х+у=а.

11. , где (L) – окружность x²+y²=R².

2.12., где замкнутый контур (L) ограничен дугой параболы у=х² (0х1) и отрезком прямой у=х между точками О(0;0) и А(1;1).

2.13., где (L) – контур треугольника с вершинами А(1;1), В(2;1), С(2;2).

2.14. , где (L) – контур треугольника ABC с вершинами .

Задача 3. Вычислить площадь области (D) с помощью криволинейного интеграла.

3.1. Область (D) ограничена кривыми (Область (D) примыкает к началу координат).

3.2. Область (D) ограничена контуром ОАВСО: А(1;3), В(0;4), С(-1;2), О(0;0), ОА, ВС, СО – отрезки прямых, а АВ – дуга параболы .

3.3. Область (D) ограничена кривыми и .

3.4. Область (D) – четырехугольник с вершинами А(6;1), В(4;5), С(1;6), D (-1;1).

3.5. Область (D) ограничена кардиоидой , .

3.6. Область (D) ограничена кривыми и .

3.7. Область (D) ограничена параболами .

3.8. Область (D) ограничена эллипсом .

3.9. Область (D) задана неравенствами .

3.10. Область (D) задана неравенствами , .

3.11. Область (D) ограничена астроидой .

3.12. Область (D) задана неравенствами .

Задача 4. Вычислить интеграл. Указать все пути, по которым данный интеграл равен найденному числу.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

Задача 5. Доказать, что дифференциальное выражение является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных. Найти все такие функции.

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.