3. Четность и нечетность

Определение 5. Функция , заданная на множестве , называется четной, если .

Определение 6. Функция , заданная на множестве , называется нечетной, если .

Например, функция четна, а функция нечетна. Вообще, если число четно, то и функция четна, а если число нечетно, то и функция нечетна.

Замечание. Для четных и нечетных функций область определения должна обладать следующим свойством симметричности: вместе с каждым числом ей должно принадлежать противоположное ему число .

Пример 14. Докажем, что функция , , не является ни четной, ни нечетной.

Решение. Область определения этой функции не обладает указанным выше свойством симметрии: ей принадлежит число 7, но не принадлежит число –7. Поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

При исследовании на четность или нечетность функции , заданной своим выражением, заменяют в этом выражении на и проверяют: а) тождественно ли получившееся выражение выражению, задающему ; б) отличается ли оно от него лишь знаком.

Пример 15. Докажем, что функция четная.

Решение. При замене на в выражении получаем . Значит, данная функция четная.

Пример 16. Докажем, что функция нечетная.

Решение. Имеем . Значит, данная функция нечетная.

При доказательстве четности или нечетности функций бывают полезны следующие утверждения:

а) Сумма двух четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.

б) Произведение двух четных или нечетных функций является четной функцией.

в) Произведение четной функции на нечетную является нечетной функцией.

г) Если функция четная, а функция определена на , то функция тоже четная.

д) Если функция нечетная, а функция определена на и является четной (нечетной), то функция четная (нечетная).

Пример 17. Докажем, что любая функция вида является нечетной.

Решение. Функция четная, следовательно, и тоже четная в силу утверждения г). Поэтому данная функция является произведением нечетной функции на четную , а значит, нечетна в силу утверждения в).

Теорема. Любую функцию, заданную на симметричном множестве, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Для графиков четных и нечетных функций справедливы следующие утверждения.

1. График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 5).

2.График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.6).

Рис. 5 Рис. 6

Справедливы и обратные утверждения:

1. Если график функции симметричен относительно оси ординат, то эта функция четна.

2. Если график функции симметричен относительно начала координат, то эта функция нечетна.

4. Периодичность

Определение 7. Функция , заданная на множестве , называется периодической с периодом , если выполняется равенство .

Число является периодом любой функции, а вместе с и является периодом. Поэтому достаточно рассматривать лишь положительные периоды.

Замечание. Из определения следует, что область определения функции , имеющей период , сама должна обладать следующим свойством периодичности: вместе с каждым числом множества содержит числа и .

Поэтому, например, функция, заданная лишь на луче , не может быть периодической.

Пусть и – периоды функции . Тогда их сумма также является периодом . В частности, если кратно периоду для функции , т.е. , , то также является периодом для . Значит, периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. Если среди положительных периодов функции есть наименьший, то его называют основным периодом этой функции. В этом случае все периоды кратны основному периоду.

Пусть функция имеет основной период . Тогда, зная значения на или , легко найти остальные значения, пользуясь периодичностью функции. Поэтому при построении графика периодической функции достаточно построить этот график на или на , а потом сдвинуть полученный график на , , и т.д. вдоль оси абсцисс.

Пример 18. Найдем основной период функции .

Решение. Так как основной период функции равен , то имеем . Таким образом данная функция представляется в виде суммы трех функций, имеющих основные периоды , и . Период всей функции должен быть кратен этим трем числам, поэтому основной период данной функции - общее наименьшее кратное периодов , и .

Пример 19. Найдем основной период функции , где – дробная часть числа .

Решение. Для любого имеем , так как дробные части чисел , , совпадают. Значит, число 1 – период функции . Этот период основной, поскольку при равенство не выполняется для . График функции изображен на рис. 7.

Рис. 7

Пример 20. Пусть – функция Дирихле (см. п. 3.1). Покажем, что любое рациональное число является периодом этой функции.

Решение. Пусть – иррациональное число. Тогда и тоже иррациональные числа, а потому . Аналогично, если – рациональное число, то и , – рациональные числа, а потому . Значит, при любом имеем , т.е. – период функции . Поскольку среди рациональных чисел нет наименьшего положительного, функция не имеет основного периода.

Пример 21. Докажем, что функция не является периодической.

Решение. Решим уравнение . Имеем () и . Выпишем найденный корни:

.

Замечаем, что разности двух соседних чисел не одинаковы для различных пар чисел. Это значит, что точки пересечения графика функции с осью не повторяются периодически, а потому функция не является периодической.

В заключение отметим, что если функция задана на и имеет период , а функция задана на , то функция имеет тот же период.

Например, функция имеет период . Тогда тот же период имеют функции , и т.д.