- •Лекция №6
- •2.1. Функция. Основные понятия, связанные с определением функции
- •2.2.Основные свойства функций
- •1. Ограниченность
- •2. Монотонность
- •3. Четность и нечетность
- •4. Периодичность
- •3.3. Основные элементарные функции и их графики. Класс элементарных функций
- •2.4. Обратные функции, обратимость строго монотонных функций
3.3. Основные элементарные функции и их графики. Класс элементарных функций
Функции: степенная (), показательная (), логарифмическая (, ), тригонометрические , , , и обратные тригонометрические функции , , и называются основными элементарными функциями. Напомним основные свойства и графики этих функций.
1. Степенная функция . В общем случае она определена и непрерывна при . При некоторых значениях степенная функция определена при или при , или и там и там. Рассмотрим различные случаи.
Пусть . Тогда при график степенной функции имеет вид, изображенный на рис. 19, при – на рис. 20, при – на рис. 21, при – на рис. 22.
Рис. 19 Рис. 20
Рис. 21 Рис. 22
Функция является обратной к функции , поэтому их графики симметричны относительно прямой (частный случай степенной функции). При график функции имеет вид, изображенный на рис. 23, а при – на рис. 24 (если ограничиться арифметическими значениями корня).
Р ис. 23 Рис. 24
Р ис. 25 Рис. 26 Рис. 27
Рис. 28 Рис. 29 Рис. 30
Рис. 31 Рис. 32 Рис. 33
График функции , где , при касается оси , а при - оси . Если , то при неограниченном возрастании значение неограниченно убывает, а при неограниченном приближении к нулю неограниченно возрастает. При функция определена не для всех и . Если она определена при , то является четной или нечетной функцией, и потому ее график при получается из ее графика при с помощью той или иной симметрии. В качестве примера приведем графики функций при различных значениях и (рис. 25-33).
2. Показательная функция (). Она принимает положительные значения при всех значениях . Если , то . При показательная функция обращается в 1, так как . В случае показательная функция при неограниченном убывании аргумента неограниченно приближается к нулю, а при неограниченном возрастании аргумента функция неограниченно возрастает (рис. 34). Если же , то показательная функция при неограниченном возрастании аргумента неограниченно приближается к нулю, а при неограниченном убывании неограниченно возрастает (рис. 3 5).
Рис. 34 Рис. 35
Рис. 36 Рис. 37
3. Логарифмическая функция (, ). Она определена при . Функции и взаимно обратны друг другу, ибо и . Поэтому график логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямой .
Если , то логарифмическая функция возрастает, причем при неограниченном возрастании аргумента она неограниченно возрастает, а при неограниченном его приближении к нулю она неограниченно убывает (рис. 36). Если же , то логарифмическая функция возрастает, причем при неограниченном возрастании аргумента она неограниченно убывает, а при неограниченном его приближении к нулю она неограниченно возрастает (рис. 37). При любом , , имеет место равенство .
4. Основные тригонометрические функции , , , . Они связаны между собой соотношениями
, .
Ф ункции , определены на всей числовой оси и являются периодическими с основным периодом . При этом функция (рис. 38) является нечетной, а функция (рис. 39) является четной.
Рис. 38
Рис. 39
Ф ункция (рис. 40) не определена при , где . а функция (рис. 41) не определена при , где .При неограниченном приближении аргумента к этим точкам значения функций неограниченно возрастают по модулю. Функции , являются периодическими с основным периодом , а также нечетными.
Рис. 40
Рис. 41
5. Обратные тригонометрические функции. Так как они являются обратными для основных тригонометрических функций, то их графики симметричны относительно прямой графикам, изображенным на рис. 38-41. Обратные тригонометрические функции являются многозначными и обозначаются , , , .
Рис. 42 Рис. 43
Однозначная функция (рис. 42) определена на отрезке и имеет область значений . Функция монотонно возрастает и является нечетной.
Однозначная функция (рис. 43) определена на отрезке и имеет область значений . Функция монотонно убывает.
Однозначная функция (рис. 44) определена на всей числовой оси и имеет область значений . Функция монотонно возрастает и является нечетной.
Рис. 44
Однозначная функция (рис. 45) определена на всей числовой оси и имеет область значений . Функция монотонно убывает.
Графики соответствующих многозначных функций изображены на рис. 42-45 штриховыми линиями.
Функции, которые можно получить при помощи конечного числа арифметических операций над основными элементарными функциями, а также их суперпозицией, называются элементарными. Во множестве элементарных функций выделяются следующие классы.
1. Многочлены (полиномы) – функции вида
.
Если , то целое неотрицательное число называется степенью многочлена . Функция, тождественно равная нулю, является в силу данного определения многочленом, ей не приписывается никакой степени. Многочлены определены на всей числовой оси.
Рис. 45
2. Рациональные функции – функции, представимые в виде , где и – многочлены ( – ненулевой многочлен). Функция определена во всех точках числовой оси, кроме тех точек, в которых знаменатель обращается в ноль.
3. Иррациональные функции, т.е. такие функции, не являющиеся рациональными, которые могут быть заданы композицией конечного числа рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и четырех арифметических действий. Например, функция иррациональная.
4. Трансцендентные функции – элементарные функции, не являющиеся рациональными или иррациональными. Например, функция трансцендентная.
Если известен график функции , то с его помощью легко получить графики следующих функций:
1) график функции получается сжатием графика вдоль оси в раз (при ) или растяжением в раз (при );
2) график функции – зеркальным отображением относительно оси ;
3) график функции – переносом параллельно оси на единиц вправо, если , и влево, если ;
4) график функции – растяжением вдоль оси в раз (при ) или сжатием в раз (при );
5) график функции – зеркальным отображением относительно оси ;
6) график функции – переносом параллельно оси на единиц вверх, если , и вниз, если ;
7) график функции – зеркальным отображением относительно оси участков графика , на которых ординаты отрицательны;
8) график функции – зеркальным отображением относительно прямой участка графика функции при .
Пример 1. Построить графики следующих функций:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
Решение.
а) График функции получается из графика сдвигом на три единицы вправо (рис. 46, а).
б) График функции получается сжатием графика вдоль оси в 4 раза (центр сжатия – прямая ), этот график также можно получить сдвигом графика на две единицы вверх, так как (рис. 46, б).
в) График функции получается из графика растяжением вдоль оси в два раза (рис. 46, в).
г) При построении графика функции участок кривой , расположенный ниже оси , отображается симметрично относительно этой оси (рис. 46, г).
Рис. 46
д) График функции составляют две кривые: и симметричная ей относительно прямой (рис. 46, д).
Функция не обязательно должна быть задана явно – уравнением . Она может быть определена также неявно – уравнением или параметрически.
Пусть заданы функции и , непрерывные на некотором промежутке числовой оси. Уравнения
называются параметрическими уравнениями кривой в декартовой прямоугольной системе координат, если выполнено следующее условие: для всякого значения параметра точка принадлежит кривой и, наоборот, для всякой точки кривой существует такое значение параметра , что и .
Исключением параметра из параметрических уравнений уравнение кривой может быть представлено в неявном виде .
Пример 2. Исключением параметра найти уравнение заданной кривой и построить эту кривую
.
Решение. Если точка такова, что и для некоторого значения , то
,
т.е. точка принадлежит окружности , график которой известен. График также можно получить непосредственно из параметрических уравнений, воспользовавшись таблицей (табл. 3)
Таблица 3
и свойствами функций и при рассмотрении остальных значений параметра .