2.4. Обратные функции, обратимость строго монотонных функций

Пусть задана функция y=f(x) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению yE соответствует единственное значение xD, то определена функция x=φ(y) с областью определения Е и множеством значений D (см.рис.1.)

Такая функция φ(y) называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде: x=φ(y)=f ^-1(y). Про функции y=f(x) и x=φ(y) говорят, что они являются взаимообратными. Чтобы найти функцию x=φ(y), обратную к функции y=f(x), достаточно решить уравнение f(x)= y относительно x (если это возможно).

Рис.1.

Определение. Функция, определенная на множестве значений функции , с областью значений, принадлежащей множеству , и ставящая в соответствие каждому элементу его прообраз , называется обратной к функцией и обозначается через .

Обратная функция является, вообще говоря, многозначной функцией. Если отображение является взаимно однозначным (см. п. 1.2), то обратная функция является однозначной.

Обратная функция также является числовой функцией. Если известно выражение функции , то выражение для получают следующим образом. Пишут уравнение и решают его относительно . При этом могут получиться несколько выражений. Из них надо выбрать то, значения которого принадлежат множеству . Получают равенство . Тогда и будет выражением обратной функции. Обычно в этом выражении заменяют на . Выражение обратной функции не всегда можно записать с помощью известных нам функций. Поэтому операция образования обратной функции может привести к расширению запаса функций.

Теорема. Пусть функция непрерывна и возрастает (убывает) на промежутке и . Тогда существует заданная на обратная к функция , причем эта функция возрастает (убывает) и непрерывна на .

Из определения обратной функции вытекает, что функция y=f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция  f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и E. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим что функция y=f(x) и обратная ей x=φ(y) изображаются одной и той же кривой, т.е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т.е. аргумент) обозначить через x, а зависимую переменную через y, то функция обратная функции y=f(x) запишется в виде y=φ(x).

Это означает что точка М₁(x₀;y₀) кривой y=f(x) становится точкой М₂(x₀;y₀) кривой y=φ(x). Но точки М₁ и М₂ симметричны относительно прямой y = x (см. рис. 2). Поэтому графики взаимно обратных функций y=f(x) и y=φ(x) cсимметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Рис.2.

Пример 1. Для функции y = 2x обратной функцией является функция x =  ;

Пример 2. Для функции y =x ² x[0;1], обратной функцией является x =;

Заметим, что для функции y =x ², заданной на отрезке [-1; 1], обратной не существует, т. к. одному значению y соответствует два значения x (так, если y =, то x₁ =, x₂ = –)_.

Пример 3. Найдем обратную функцию для функции , .

Решение. Из уравнения находим или . Значениям соответствуют значения , где . Поэтому обратная функция задается выражением и определена на луче . Если заменить на , то получим , . Графики прямой и обратной функции изображены на рис. 3.

Р ис.3

Замечание. Если точка принадлежит графику функции , то точка принадлежит графику функции , и обратно, из принадлежности точки графику функции следует принадлежность точки графику функции . Но точки и симметричны относительно прямой . Значит, графики функций и симметричны друг другу относительно прямой .

На рис. 47 изображены графики взаимно обратных функций и показана их симметрия относительно прямой .

25