Тема 7 методи аналізу взаємозв’язків методичні вказівки

Усі соціально-економічні явища взаємопов’язані. Зв’язок між ними має причинно-наслідковий характер. Ознаки, що характе­ризують причини та умови зв’язку, називаються факторними х, а ті, що характеризують наслідки зв’язку, — результативними у. Між ознаками х і у виникають різні за природою та характером зв’язки, зокрема функціональні та стохастичні. У разі функціо­нального зв’язку кожному значенню ознаки х відповідає одне чітко визначене значення у. Цей зв’язок виявляється однозначно в кожному окремому випадку. У разі стохастичного зв’язку кожному значенню ознаки х відповідає певна множина значень у, які утворюють так званий умовний розподіл. Як закон цей зв’язок виявляється лише у масі випадків і характеризується зміною умовних розподілів у. Якщо замінити умовний розподіл се­редньою величиною , то утвориться різновид стохастичного зв’язку — кореляційний. У разі кореляційного зв’язку кожному значенню ознаки х відповідає середнє значення результативної ознаки .

Прикладом стохастичного, зокрема кореляційного, зв’язку може бути розподіл проданих на аукціоні акцій за курсовою ціною у залежно від їх номінальної ціни х.

У кожній групі за факторною ознакою спостерігатиметься свій умовний розподіл у, який за наявності стохастичного зв’язку від­різнятиметься від розподілів в інших групах та від підсумкового безумовного розподілу. Умовні розподіли можна замінити серед­німи значеннями результативної ознаки, які обчислюються як середня арифметична зважена:

= .

Поступова зміна середніх від групи до групи свідчитиме про наявність кореляційного зв’язку між ознаками.

Характеристикою кореляційного зв’язку є лінія регресії, яка розглядається у двох моделях: аналітичного групування та рег­ресійного аналізу. У моделі аналітичного групування — це емпірична лінія регресії, утворювана з групових середніх значень результативної ознаки для кожного значення (інтервалу) .

Ефекти впливу х на у визначаються як відношення приростів середніх групових значень : , де = – , = – – .

Оцінка щільності зв’язку ґрунтується на правилі розкладання дисперсій, згідно з яким дисперсія результативної ознаки у в моделі аналітичного групування розкладається на дисперсію в кожній групі, виділеній за ознакою х (групову), та дисперсію між групами (міжгрупову). Цей взаємозв’язок між трьома диспер­сіями дістав назву правила розкладання дисперсій, яке запи­сується так:

.

Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки у за рахунок впливу всіх причин (факторів), міжгрупова — за рахунок фактора х, покладеного в основу групування, а групові — за рахунок інших факторів, не врахованих у групуванні.

Групова дисперсія розраховується окремо для кожної j-ї групи:

= ,

де y — значення ознаки окремих елементів сукупності; — середнє значення ознаки в j-й групі; f_j — частота j-ї групи.

Для всіх груп у цілому обчислюється середня з групових дисперсій, зважених на частоти відповідної групи:

= .

Міжгрупова дисперсія обчислюється за формулою:

= .

Відношення міжгрупової дисперсії до загальної є мірою щіль­ності зв’язку в моделі аналітичного групування і називається кореляційним відношенням:

.

Кореляційне відношення коливається від 0 до 1, а якщо по­дається у процентах, то від 0 до 100 % і показує, скільки про­центів варіації результативної ознаки пов’язано з варіацією фак­торної ознаки. Чим більше наближається до одиниці, тим щіль­ніший зв’язок. За відсутності зв’язку = 0, а за умови функціо­нального зв’язку = 1.

Втім, навіть щільний зв’язок може виникнути випадково, тому слід перевірити його істотність, тобто довести невипадковість зв’язку. Перевірка істотності зв’язку — це порівняння фактич­ного значення з його критичним значенням (k₁, k₂) для певного рівня істотності та кількості ступенів свободи k₁ = m – 1 і k₂ = n – m, де m — кількість груп; n — обсяг сукупності. Якщо > (k₁, k₂), то зв’язок визнається істотним. Критичні зна­чення кореляційного відношення для  = 0,05 наведені в додатку.

У моделі регресійного аналізу характеристикою кореляційного зв’язку є теоретична лінія регресії, що описується функцією Y = f (x), яка називається рівнянням регресії. Залежно від харак­теру зв’язку використовують:

лінійні рівняння Y = a + bx, коли зі зміною х ознака у змінюється більш чи менш рівномірно;

нелінійні рівняння, коли взаємозв’язані ознаки змінюються нерівномірно (з прискоренням, уповільненням або зі змінним напрямом зв’язку), зокрема степеневе рівняння Y = ax^b, гіпер­болічне Y = a + b/x, параболічне Y = a + bx + cx² тощо.

Найчастіше застосовують лінійні рівняння або рівняння, зведені до лінійного вигляду. У лінійному рівнянні параметр b — коефіцієнт регресії — вказує, на скільки одиниць в середньому зміниться у зі зміною х на одиницю. Він має ту саму одиницю, що й результативна ознака. У разі прямого зв’язку b — величина додатна, а в разі зворотного — від’ємна. Параметр а — вільний член рівняння регресії, тобто це значення Y при х = 0. Якщо х не набуває нульових значень, цей параметр має лише розрахункове призначення. Параметри визначаються методом найменших квад­ратів, згідно з яким сума квадратів відхилень емпіричних зна­чень у від теоретичних Y мінімальна  (y – Y)²  min. Відповідно до умови мінімізації параметри обчислюються на основі системи нормальних рівнянь:

Звідси

b = ,

a = .

Характеристикою відносної зміни у за рахунок х є коефіцієнт еластичності

К_ел = b,

який показує, на скільки процентів у середньому змінюється результативна ознака зі зміною факторної на 1 %.

На підставі рівняння регресії визначаються теоретичні значення Y, тобто значення результативної ознаки за умови впливу лише фактора х, коли рівень інших факторів незмінний.

Відхилення емпіричних значень у від теоретичних Y нази­вають залишковими. Вони характеризують вплив на результа­тивну ознаку всіх інших факторів, окрім х. Середній розмір цих відхилень визначає залишкова дисперсія

 ²_e = .