Минимум

по дисциплине «Вводный курс математики»

I. Множества и операции над ними

1. Задать различными способами следующие множества

а) A = {x | xZ и |x| < 4};

б) B = {3; 6; 9; 12; 15};

в) C – множество действительных чисел, каждое из которых больше двух, но не более пяти.

2. Найти AB, AB, A\B, B\A, C_AB, C_BA, если:

а) A и B – множества всех букв слов «потребление» и «пиление» соответственно;

б) A = {x | xR и (x³ – x)(x² – 5x +6) = 0} и B = {–2; –1; 0; 1; 2};

в) A = [–;3][4;6] и B = (2;5].

3. Докажите, что для любых множеств X, Y и Z истинны следующие высказывания:

а) (X\Z)  ((Y\Z)  (X\Y));

б) (XY) \ (X Y) = (X\Y)  (Y\X).

4. Записать семейство всех сочетаний из пяти элементов множества {; ; ; ; } по три и найти .

5. Из 61 студентов первого курса физмата 40 человек занимаются в математическом кружке, 20 человек – в физическом кружке и 17 человек – в педагогическом кружке. Сколько студентов одновременно занимаются в математическом и физическом кружках, если в математическом и педагогическом кружках одновременно занимаются 10 человек, в физическом и педагогическом кружках – 8 человек, в каждом из этих трех кружках – 2 человека, а 6 человек не занимаются ни в одном из упомянутых кружков?

6. Записать семейства всех размещений без повторений из 4 элементов множества X по два, всех размещений с повторениями из двух элементов множества Y по три, всех перестановок без повторений четырех элементов множества Z, если X = {; ; ; }, Y = ={x | x² = 1} и Z – множество всех корней уравнения x⁴ – 5x² + 4 = 0. Найти .

7. Изобразить на координатной плоскости (Oxy) декартово произведение AB, если:

а) A = {x | xN  3 < x  7} и B = {y | yR  2  y < 4};

б) A = {x | xN  3 < x  7} и B = {2; 3; 4; 8};

в) A = (1; + и B = [1; 3].

8. Проверить, являются ли семейства R₁, R₂, R₃, R₄, R₅ разбиениями множества M = [–2; 7) на классы, если:

R₁ = {[-2; 2]; (5; 7); (4; 5); [2; 4]},

R₂ = {[-2; 2); (5; 7); (4; 5); [2; 4]},

R₃ = {(-2; 2); [5; 7); (4; 5); {x| x² – 4 = 0}; (2; 4]},

R₄ = {[-2; 2]; (5; 7]; (4; 5]; (2; 4]},

R₅ = {[-2; 2]; [5; 7); (4; 5); {x| x² + 4 = 0}; (2; 4]}.

II. Высказывания и предикаты

9. Найдите истинностные значения элементарных высказываний P, Q и R, если

|P(QR)| = И.

10. Докажите, что логические формулы F₁=((XY)(XY))X и F₂=((XY)(YZ))(XZ), где X, Y, Z – высказывательные переменные, являются соответственно тавтологией и противоречием.

11. Равносильны ли следующие логические формулы:

а) XY и (XY)(YX);

б) X(XZ)(YZ) и XZXY;

в) X(YY) и XY?

12. Для данного предиката P(x), определенного на R, с помощью навешивания кванторов постройте всевозможные высказывания, указывая истинностные значения этих высказываний, если:

а) P(x)= «x²+2x+1=(x+1)²»;

б) P(x)= «(x-3)( x+3)<x²»;

в) P(x)= «(x-2)( x-3)=x²».

13. Записать данное высказывание A, используя кванторы, построить его отрицание. Указать истинностные значения данного и построенного высказываний:

а) A= «Уравнение x³ + x² – 2x = 0 имеет натуральный корень»;

б) A= «Каждое действительное число, если модуль его больше 2, положительно»;

в) A= «Существует действительное число y такое, что для каждого действительного числа x выполняется равенство x + y = x».

14. Данное утверждение T переформулировать в виде теоремы T₀ = x(A(x)B(x)). Для этой теоремы построить теоремы: x(B(x)A(x)), x(A(x)B(x)), x(B(x) A(x)). Найти истинностные значения построенных теорем, информацию об истинностных значениях этих теорем сформулировать на языке необходимых и достаточных условий:

а) T= «В прямоугольном треугольнике квадрат длины одной из сторон равен сумме квадратов длин двух других его сторон»;

б) T= «Если длины диагоналей четырехугольника равны, то он является прямоугольным»;

в) T= «Если площадь треугольника равна 10 см², то длина одной из сторон ее равна 2 см».

15. В следующих истинных высказываниях вместо многоточий вставьте одно из выражений: «необходимо и достаточно», «необходимо, но не достаточно», «достаточно, но не необходимо», «необходимо и не достаточно».

1. «Для того, чтобы a²=a …, чтобы a=1».

2. «Для того, чтобы |a|=|b| …, чтобы a>0 и b>0».

3. «Для того, чтобы |a|=|b| …, чтобы a=b или a=–b».

4. «Для того, чтобы a=b …, чтобы |a|=|b|».