Введение

«Вводный курс математики» нацелен на ознакомление студентов-первокурсников с важнейшими математическими понятиями и символикой, общими для всех остальных математических дисциплин, изучающихся в дальнейшем. Уже первые лекции по «Элементарной математике с ПРМЗ», «Математическому анализу», «Геометрии» и «Алгебре и теории чисел» опираются на вводимую в указанном курсе терминологию и символику.

Данное пособие написано на основе опыта преподавания вводного курса математики в КГУ на физико-математическом факультете и адресовано, прежде всего, студентам первого курса физико-математического факультета университета. Материал, помещенный в пособие, может оказаться полезным и студентам других факультетов, изучающих высшую математику.

Пособие включает в себя курс лекций с разобранными упражнениями, примерами и рисунками. В нем излагаются элементы теории множеств, алгебры высказываний, исчисления предикатов, вводится понятие отношения между элементами данных множеств, благодаря чему уточняется понятие функции, формулируются и доказываются важнейшие свойства классов эквивалентности и фактор множества. В пособие включены задания («минимум»), целью выполнения которых служит более глубокое понимание курса и развернутый перечень вопросов, выносимых на зачет. В приложениях так же содержатся греческий и латинский алфавиты, некоторые стандартные обозначения.

Для удобства восприятия определения и формулировки теорем выделены в тексте вертикальной линией. Конец доказательства теоремы или леммы отмечен знаком ■.

Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного изучения соответствующего материала и является базой для подготовки к зачету. Оно может быть также использовано учителями и учащимися средних школ и студентами средних специальных учебных заведений, интересующимися математикой.

Глава 1 элементы теории множеств

§1. Понятие множества

n°1. Множество как неопределяемое понятие

Множество является основным (неопределяемым) понятием «Теории множеств», раздела математики, сформировавшегося во второй половине XIX века, в основном, благодаря работам немецкого математика Георга Кантора (1845–1918). Синонимы слова «множество»: «совокупность», «собрание», «коллекция», «семейство», «класс», «система», «комплекс», «ансамбль», и т.д.

Г. Кантор рассматривал (но не определял!) множество как любое собрание определенных и различных между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое.

Примеры множеств: множество всех корней данного уравнения, множество студентов в аудитории, множество молекул данного тела, и т.д.

Множества чаще всего обозначаются большими латинскими буквами: A, B, C, … , снабженными, возможно, индексами. Некоторые множества имеют «персональные» обозначения: N - множество всех натуральных чисел, Z – множество всех целых чисел, Q - множество всех рациональных чисел, R – множество всех действительных чисел, [a; b], [a; b), (a; +), … – числовые промежутки.

Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Если а – элемент множества A, то это записывается так: аA, при этом говорят, что «объект a принадлежит множеству A» или «множество A содержит объект a». Если же a не является элементом множества A, то пишут aA. Символ  называется знаком принадлежности. Знак  является стилизацией первой буквы греческого слова «» (есть, быть).

Для удобства и единства обозначений условились считать, что существует множество, не имеющее элементов. Это множество называют пустым множеством и обозначают символом . Введение пустого множества позволяет, например, говорить о множестве всех корней данного уравнения даже в том случае, когда это уравнение корней не имеет.

Если для множества A существуют натуральное число k, равное числу его элементов, то множество A называется конечным, точнее k-элементным. Пустое множество относят к конечным множествам. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Число элементов конечного множества A обозначается одним из символов: n(A) или |А|, причем n()0.

Примеры конечных множеств: множество всех корней уравнения x³–5x²+6x=0, множество всех песчинок на берегу Черного моря, множество всех отрицательных натуральных чисел и т.д. Примеры бесконечных множеств: N, Z, Q, R, (-2; 5], множество всех окружностей данной плоскости и т.д.

n°2. Способы задания множеств