III. Отношения и функции

Оформите в виде таблицы ответы на вопросы: является ли данное отношение  между элементами множества M рефлексивным, симметричным, транзитивным, связным, антирефлексивным, антисимметричным, отношением эквивалентности, порядка, линейного порядка? Для одного из отношений привести подробное обоснование ответов:

а) x y  xy и M – семейство всех лучей данной плоскости;

б) X Y  XY и M – семейство всех множеств;

в) x y  x делится на y и M=Z;

г) x y  слово x предшествует слову y и M – множество всех слов данного словаря;

д) x y  (x + y) – четное число и M =Z.

Для отношения  = (G; X; Y) найти D(), E(), построить граф его или график на координатной плоскости (Oxy), если:

X = {a; b; c; d}, Y = {+; ; ; ; }.
X=Y=R и G = {(x; y)| x, y R и x=y²}.

Является ли f = (G; X; Y) функцией? Если да, то является ли она инъективной, сюръективной и биективной?

а) X=Y=R и G = {(x; y)| x=y²};

б) X=Y=[0; +) и G = {(x; y)| x=y²};

в) X=Y=R и G = {(x; y)| y = 5^x};

г) X= R, Y=(0; +) и G = {(x; y)| y = 5^x}.

Найти f(a), f(A), f^–1(B), f^–1(b), если f: x |x|, a = –5, A = (–5; 3), B = [2; 4), b = –3. Построить графики функций f и f__A.
Построить графики функций f₁: x (2x +1), f₂: x (x² –1), f = f₂_f₁,  = f₁^–1.

Приложение 2 вопросы к зачету по «Вводному курсу математики»

Понятия множества, его элементов, пустого множества, конечного и бесконечного множества. Способы задания множества.
Понятия равенства множеств и подмножества данного множества. Изображения множеств диаграммами Венна. Доказать включение A(B\C)  (AB)\(AC).
Определение операций для множеств. Формулировка теоремы об основных свойствах операций для множеств. Доказательство равенства: (XY)Z = (XZ)(YZ).
Определение операций для множеств. Формулировка теоремы об основных свойствах операций для множеств. Доказательство равенства: .
Определение операций для множеств. Формулировка теоремы об основных свойствах операций для множеств. Доказательство равенства: , где .
Понятия объединения и пересечения любого числа множеств, семейства всех подмножеств данного множества, разбиения множества. Формулы для вычисления числа элементов объединения конечных множеств. Привести примеры.
Понятия кортежа и декартова произведения множеств. Изображение кортежей и декартовых произведений на координатной плоскости и в пространственной системе координат . Изобразить на плоскости множество , где .
Сочетания, размещения и перестановки: определения и формулы для вычисления числа их (т.е. ). Привести примеры.
Понятия высказывания и логических операций. Элементарные и сложные высказывания. Порядок логических операций и использование скобок при записи сложных высказываний. Примеры.
Понятия логической формулы, тавтологии, противоречия, равносильности двух логических формул. Установление равносильностей:  и  .
Установление равносильностей логических формул:  ,   и .
Понятия о необходимых и достаточных условиях. Привести примеры. Доказательство теоремы методом «от противного» и установление равносильностей логических формул, на которых основан этот метод.
Формулировка и доказательство теоремы об основных равносильностях логических формул.
Понятия предиката, его области истинности, равносильности и следствия для предикатов. Определение предикатов: , , , , , где и - предикаты с общей областью определения. Привести примеры.
Операции навешивания кванторов на данный предикат. Формулировка леммы о перестановке рядом стоящих одноименных кванторов.
Формулировка и доказательство леммы о построении отрицания высказываний, «начинающихся» с кванторов. Установление равносильностей , .
Отношения между элементами данных множеств и связанные с ними понятия и символика. Привести примеры.
Разновидности бинарных отношений между элементами данного множества. Привести примеры.
Понятие отношения эквивалентности и классов эквивалентности. Сформулировать и доказать теорему: два класса эквивалентности совпадают или не пересекаются.
Понятие отношения эквивалентности и классов эквивалентности. Сформулировать и доказать теорему: фактор-множество данного множества по данному отношению эквивалентности является разбиением данного множества.
Понятие отношения эквивалентности и классов эквивалентности. Сформулировать и доказать теорему: любое разбиение данного множества является фактор-множеством данного множества по некоторому отношению эквивалентности.
Понятие функции. Определение символики: , , , . Привести примеры.
Инъективные, сюръективные и биективные функции. Понятие об обратной функции.
Понятие сложной функции и сужения данной функции на данное множество.