- •Задачи для самостоятельного решения
- •2) Длину вектора .
- •2.2. Векторное и смешанное произведения векторов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава III. Основы аналитической геометрии
- •Уравнения прямой на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.3. Уравнения плоскости в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Взаимное расположение двух плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.5. Уравнения прямой в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.7. Прямая и плоскость в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.8. Кривые второго порядка
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
13. Упростить выражения:
1) ; 2) .
14. Вычислить , если известно, что
15. Векторы и перпендикулярны. Зная, что , , вычислить 1) ; 2) .
16. Даны точки , , . Вычислить векторные произведения:
1) 2) .
17. Даны точки , . Вычислить площадь треугольника АВС.
18. Вычислить смешанное произведение , если известно, что
, ,
19. Вычислить смешанное произведение , если .
20. Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.
21. Объем тетраэдра три его вершины находятся в точках . Найти координаты вершины D, если известно, что она лежит на оси ОY.
Глава III. Основы аналитической геометрии
-
Уравнения прямой на плоскости
Будем предполагать, что на плоскости задана прямоугольная система координат .
Нормальным вектором прямой называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой.
Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором :
. (3.1)
Общее уравнение прямой:
, . (3.2)
Частные случаи общего уравнения прямой:
1) – прямая проходит через начало координат;
2) , – прямая параллельна оси ;
3) , – прямая параллельна оси ОХ;
4) – уравнение оси ОY;
5) – уравнение оси ОХ.
Уравнение прямой в отрезках:
, (3.3)
где а и b – величины направленных отрезков, которые прямая отсекает на осях координат и соответственно .
Направляющим вектором прямой называется любой вектор, параллельный этой прямой.
Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором (каноническое уравнение прямой):
. (3.4)
Параметрические уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором
. (3.5)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и :
. (3.6)
Равенства () (3.6) понимаются в смысле пропорции, поэтому один из знаменателей может равняться нулю.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: , (3.7)
где – угловой коэффициент прямой; – угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ; b – величина отрезка, отсекаемого на оси OY.
Расстояние от точки до прямой
. (3.8)
Примеры
1. Дано общее уравнение прямой . Составить для этой прямой:
а) уравнение с угловым коэффициентом;
б) уравнение в отрезках.
Р е ш е н и е. а) Разрешив уравнение прямой относительно у, получаем уравнение с угловым коэффициентом:
здесь ;
б) , , .
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .
Р е ш е н и е. Подставляя координаты точек в (3.6), получаем искомое уравнение прямой:
или .