- •Задачи для самостоятельного решения
- •2) Длину вектора .
- •2.2. Векторное и смешанное произведения векторов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава III. Основы аналитической геометрии
- •Уравнения прямой на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.3. Уравнения плоскости в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Взаимное расположение двух плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.5. Уравнения прямой в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.7. Прямая и плоскость в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.8. Кривые второго порядка
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
1. Составить уравнение прямой, перпендикулярной вектору и проходящей через точку , если:
а) ; б) ;
в) .
2. Составить уравнение прямой, параллельной вектору и проходящей через точку если:
а) , ; б) , ;
в) , .
3. Дана прямая Составить уравнение прямой, проходящей через точку
а) параллельно данной прямой;
б) перпендикулярно к данной прямой.
4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей на осях координат равные отрезки.
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей на оси отрезок, вдвое больший, чем на оси ОХ.
6. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки , , если:
а) , ; б) , ; в) , .
7. Вершины треугольника АВС находятся в точках , , .
Требуется:
а) составить уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;
б) найти длину высоты из вершины С треугольника АВС;
в) составить уравнения высот треугольника АВС;
г) показать, что высоты пересекаются в одной точке.
8. Привести данные уравнения к уравнениям с угловым коэффициентом: а) ; б) в) .
9. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси отрезок и образующей с осью ОХ угол :
а) ; б) .
3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Пусть у прямых и известны либо:
а) направляющие векторы , ;
б) нормальные векторы , ;
в) угловые коэффициенты и .
Под углом между двумя прямыми понимается любой из двух смежных углов, образованных прямыми при их пересечении .
Угол находится исходя из одной из формул:
а) ; (3.9)
б) ; (3.10)
в) . (3.11)
Условия параллельности прямых
а) ; (3.12)
б) ; (3.13)
в) . (3.14)
Условия перпендикулярности прямых :
а) (3.15)
б) (3.16)
в) . (3.17)
Примеры
-
Какие из следующих пар прямых параллельны, пересекаются:
а)
б)
в)
Р е ш е н и е. а) Для первой прямой , для второй прямой .
Тогда проверим условие (3.13):
.
Но так как то прямые совпадают.
б) .
Так как выполняется условие (3.13): , то прямые параллельны.
в) , . Так как не выполняется условие (3.13): то прямые пересекаются.
Задачи для самостоятельного решения
10. Вычислить угол между данными прямыми:
а)
б) ;
в) .
11. При каком значении параметра прямые :
а) параллельны; б) перпендикулярны?
12. Даны уравнения двух сторон параллелограмма , и одна из его вершин . Составить уравнения двух других сторон параллелограмма.
13. Даны уравнения двух сторон прямоугольника и одна из его вершин .
Требуется:
а) составить уравнение двух других сторон прямоугольника;
б) вычислить площадь прямоугольника.
14. Найти расстояние между параллельными прямыми:
а) ,
б) , ; в) , .