3.3. Уравнения плоскости в пространстве
Будем предполагать, что в пространстве
задана прямоугольная система координат
.
Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости.
Уравнение плоскости, заданной
точкой
и нормальным вектором
:
.
(3.18)
Общее уравнение плоскости:
.
(3.19)
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1)
– плоскость проходит через начало
координат;
2) 
– плоскость параллельна оси
,
– параллельна оси ОУ,
ОХ
соответственно);
3)
– плоскость проходит через ось
,
– через ось
и
ОХ соответственно);
4)
–
плоскость параллельна плоскости
,
– параллельна плоскости
и
соответственно);
5)
,
т. е.
– плоскость совпадает с плоскостью
(
– уравнения плоскостей
и
соответственно).
Уравнение плоскости в отрезках:
,
(3.20)
где
–
величины направленных отрезков, которые
плоскость отсекает на осях координат
соответственно
.
Уравнение плоскости, проходящей через
три данные точки
,
,
:
= 0. (3.21)
Расстояние от точки
до плоскости
:
.
(3.22)
Примеры
4. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
и параллельной
векторам
и
.
Р е ш е н и е.
Пусть
– текущая точка плоскости. Тогда векторы
,
– компланарны. Из условия компланарности
трех векторов следует, что их смешанное
произведение равно нулю:
или
.
Вычислив определитель
в левой части, получим общее уравнение
плоскости
.
5. Написать уравнение
плоскости, параллельной оси
и проходящей через точки
и
.
Р е ш е н и е.
Возьмем на оси
вектор
.
Пусть
– текущая точка плоскости. Тогда векторы
,
,
компланарны
и
.
Отсюда следует
или
– общее уравнение
плоскости.
Задачи для самостоятельного решения
15. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит:
а) через точку
перпендикулярно к вектору
;
б) через точку
и
ось: 1) ОХ; 2)
ОY;
3) OZ;
в) через точку
параллельно плоскости:
1)
2)
3)
16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки:
а)
,
,
;
б)
,
,
.
17. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
параллельно плоскости
.
18. Какие отрезки
отсекает плоскость
на осях координат?
19. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точки
,
и отсекающей на осях координат:
а) равные отрезки
положительной величины; б) на оси
отрезок, вдвое больший, чем на осях ОХ
и ОУ,
положительной величины.
20. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точки
,
перпендикулярно плоскости
.
21. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точки
,
перпендикулярно плоскости
.
3.4. Взаимное расположение двух плоскостей
Пусть у плоскостей
и
известны нормальные векторы
и
соответственно.
Под углом
между двумя плоскостями понимается
любой из двух смежных двугранных углов,
образованных этими плоскостями.
Угол
между плоскостями
и
находится исходя из формулы
.
(3.23)
Условие параллельности плоскостей:
(3.24)
Условие перпендикулярности плоскостей:
.
(3.25)
Примеры
-
Найти величину острого угла между плоскостями:
а)
и
;
б)
и
.
Р
е ш е н и е.
а) Для нахождения острого угла формула
(3.23) примет вид:
,
,
.
б) Можно заметить,
что выполняется условие (3.25)
перпендикулярности плоскостей, т. к.
Следовательно, плоскости взаимно
перпендикулярны:
.
7. Написать
уравнение плоскости, параллельной
плоскости
и удаленной от точки
на
расстояние
.
Р
е ш е н и е.
Уравнение искомой плоскости ищем в виде
Найдем значение D.
Так
как точка М
удалена от искомой
плоскости на расстояние
,
то по формуле (3.22) записываем
или
,
т. е.
,
откуда
и
.
Условию задачи удовлетворяют две
плоскости:
и
.