Задачи для самостоятельного решения
22. Найти величину острого угла между плоскостями:
а)
и
;
б)
и
.
23. Найти расстояние между параллельными плоскостями:
а)
и
;
б)
и
;
в)
и
.
24. При каком значении
параметра
заданные плоскости:
1) параллельны; 2) перпендикулярны?
а)
,
;
б)
,
.
3.5. Уравнения прямой в пространстве
Общее уравнение прямой (как линия пересечения двух плоскостей):
(3.26)
Система (3.26) определяет прямую только
в том случае, когда коэффициенты
не пропорциональны коэффициентам
.
Уравнение прямой, заданной точкой
и направляющим вектором
(канонические
уравнения прямой):
.
(3.27)
Параметрические уравнения прямой,
заданной точкой
и направляющим вектором
:
(3.28)
Уравнение прямой, проходящей через
две данные точки
и
:
.
(3.29)
Расстояние от точки
до прямой, заданной точкой
и направляющим вектором
:
.
(3.30)
Расстояние между скрещивающимися
прямыми, заданными точками
и
и направляющими векторами
и
соответственно:
.
(3.31)
Примеры
8. Общее уравнение прямой
преобразовать к каноническому виду; определить величины углов, образованные этой прямой с координатными осями.
Р е ш е н и е.
Для решения этой задачи надо знать
какую-либо точку прямой и ее направляющий
вектор
.
Выберем точку на прямой следующим
образом: положим, например,
,
тогда для определения абсциссы х
и ординаты у
у этой точки получим систему уравнений:
Решая
систему, находим
,
.
Итак, на прямой известна точка
. Направляющий
вектор прямой находим по формуле
,
.
Тогда, согласно формуле (3.27)
или
– канонические уравнения прямой.
Направление прямой
задает вектор
.
Он образует с координатными осями
углы
и
соответственно. Находим эти углы по
формулам:
.
Получаем
.
Заметим, что
равенство
выполняется.
9. Составить
параметрические уравнения прямых,
проведенных через точку
,
в каждом из следующих случаев:
а) прямая параллельна
прямой
б) прямая параллельна
оси
;
в) прямая
перпендикулярна плоскости
.
Р е ш е н и е.
а) Так как прямые параллельны, то они
имеют один и тот же направляющий вектор
.
Согласно формуле (3.28), составляем параметрические уравнения прямой
б) В качестве
направляющего вектора оси
можно взять вектор
совпадающий с ортом
.
Искомые
уравнения прямой есть
т. е.
в) Вектор
перпендикулярен плоскости
.
Следовательно, в
качестве направляющего вектора прямой
можно взять вектор
т. е.
.
Тогда параметрические уравнения прямой
примут вид
10. Составить
канонические уравнения прямой, проходящей
через точку
параллельно:
а) вектору
;
б) прямой
Р е ш е н и е.
а) В качестве направляющего вектора
прямой, проходящей через точку
,
возьмем вектор
,
равный вектору
,
т. е.
.
Тогда по формуле (3.27) канонические
уравнения прямой примут вид
.
б) Направляющий
вектор
данной прямой находим по формуле
т. е.
.
Так как данная
прямая и искомая параллельны между
собой, то в качестве направляющего
вектора
искомой прямой можно взять вектор
,
т. е.
.
Получаем канонические уравнения:
.