4

3.3.2. Источники фотонов

Дозовые ядра в воде для тонких лучей фотонов рассчитывались численно методом Монте-Карло в ряде работ. Наиболее полное исследование для моноэнергетических источников в диапазоне энергий от 0,1 до 25 МэВ было проведено в работах [11 – 14]. В расчетах отдельно определялись распределения первичного, однократно и многократно рассеянного излучения. Полученные в этих работах результаты были оформлены в работе [13 – 14] в виде электронной библиотеки (базы данных) дозовых ядер, которая авторами свободно распространяется по конкретным запросам. На рис. 7.9 приводится пример радиальных распределений для первичного и рассеянного излучений на глубине d = 10 см для двух энергий источников.

Рис 7.9. Сравнение результатов расчета дозового ядра тонкого луча моноэнергетических фотонов методом Монте-Карло с аналитической аппроксимацией. Расчет: • ─ полная доза; ♦ ─ доза, создаваемая рассеянными фотонами. Аппроксимация: ─ - полная доза; ---- - доза, создаваемая рассеянными фотонами

В ряде приложений удобно использовать аналитическую аппроксимацию. Наиболее удачная на практике для источнков тормозного излучения оказалась аналитичекая аппроксимация, пред-

ложенная в работе [15] в виде
Kтл(z,r) = ρ(Az e−azr + Bz e−bzr )/ r,	(7.24)
241

где Az, Bz, az и bz – эмпирические параметры, зависящие для данного спектра тормозного пучка только от глубины z. Значения параметров побирались методом наименьших квадратов.

Формула (7.24) удобна в двух отношения: а) она позволяет свести расчет дозы от плоских источников в модели ТЛ от двойного интегрирования к сумме интегралов Зиверта [15]; б) приближенно можно считать, что первое слагаемое представляет вклад в дозу от нерассеянного излучения, а второй – от рассеянного излучения [15]. Ее недостатком является существенное увеличение погрешности аппроксимации для моноэнергетических фотонов.

Для моноэнергетических фотонов аналитическая аппроксимация дозовых ядер с погрешностью в пределах 3 ÷ 5 % была предложена в работе [16, 17]. Она имеет следующий вид:

	Ктл (z,r) = K p (z,r) + K s (z,r) ;		(7.25)
K p (z,r)	[B1 exp(−b1r) + B2 exp(−b2 r) + B3	+ B4r] / r, r < rp ;	(7.26)
	=
ρ
	0, r ≥ rp ;

Ks (z,r)		exp(−k1	r	n	),n = 1 или2, r < rs ;
	= c1						(7.27)
ρ						r ≥ rs ,
	[c2 exp(−k2 r) + c3 exp(−k3 r)]/r,

где Bi, bi, ci, ki – эмпирические параметры, значения которых подбирались методом наименьших квадратов, минимизируя отклонения от результатов расчетов методом Монте-Карло, выполненных авторами; rp и rs – эмпирические параметры, близкие по значению к пробегу первичных электронов в воде. Значения всех эмпирических коэффициентов для некоторых источников приводятся в ра-

ботах [16, 18].

3.3.3. Источники электронов

Детальные численные расчеты дозового ядра тонких лучей электронов для моноэнергетических источников в диапазоне энергий 1 ÷ 20 МэВ в воде были выполнены методом Монте-Карло в работе [14, 19]. Полученные результаты включены в виде отдельного раздела в библиотеку дозовых ядер фотонов и электронов [19], упоминаемой выше.

242

Аналитическое представление дозового ядра тонкого луча электронов можно получить, используя теорию Ферми–Эйджа [20]. Пусть электрон нормально падает на полубесконечную водную среду в начале координат (0, 0, 0) вдоль оси z в декартовой системе координат. Вероятность обнаружить электрон на глубине z со сме-

щением	между x и x + dx и между yи y + dy в соответствии с
формулой Ферми – Эйджа равна:
		1			x2 + y	2
p(x, y, z)dx dy =				exp −			dx dy ,	(7.28)
		2			2
		2πσMCS			2σ MCS
где σ2MCS	= 1 z (z − u) T (u)du ;							(7.29)
	2 0

T(u) – линейная рассеивающая способность среды на глубине u, зависящая от средней энергии электрона на глубине u; MCS – означает многократное кулоновское рассеяние.

С увеличением глубины проникновения в воде σMKS возрастает приближенно по линейному закону до глубины z ≤ (0,8 0,9)Re , где

Re – практический пробег электрона в среде [21].

Функция Ферми – Эйджа p(x,y,z) описывает пространственное распределение тока электронов, обусловленное тонким лучом. Чтобы преобразовать это распределение в пространственное распределение дозового ядра Kтл(x,y,z), вводится взвешивающий фактор g(z), который зависит только от координаты z:

	Kтл (x, y, z)	= p(x, y, z) g(z).	(7.30)
	ρ

Основным требованием к модели расчета методом тонкого луча является воспроизведение измеренных центрально-осевое дозовых распределений для полей различных размеров. Это достигается таким выбором g(z), чтобы доза на центральной оси, полученная интегрированием Kтл(x,y,z) по прямоугольному полю размером

2A× 2B на облучаемой поверхности среды точно равнялась измеренному значению дозы для этого поля CAXD(z) (central axis dose)

минус доза от тормозного излучения. Обозначим эту величину Dmeas (0,0, z), тогда весовая функция g(z) будет равна:

243

g(z) =			Dmeas (0,0, z)							.	(7.31)
		A			erf			B
	erf
		2σmed (z)						2σmed (z)

На практике значения g(z) необходимо определить для всего диапазона размеров полей и пучков разной энергии, так как модель способна предсказать изменения CAXD(z) в пределах относи-

тельно узкого диапазона размеров полей.

3.3.4. Источники нейтронов

Детальные исследования дозовых ядер для тонких лучей нейтронов проводились в работах [22, 23]. Авторами были выполнены систематические расчеты методом Монте-Карло, изучены физические закономерности и выполнена аналитическая аппроксимация результатов расчета дозовых ядер для источников нейтронов

вдиапазоне энергий от 0,025 эВ до 14,5 МэВ и полубесконечной водной среды. Учитывая нерегулярность энергетической зависимости сечений взаимодействия нейтронов с веществом, расчеты были сделаны в 28-групповом приближении в цилиндрической геометрии (см. рис. 7.5,б), при этом отдельно определялись вклады

впоглощенную дозу от нерассеянных и рассеянных нейтронов и от вторичного γ-излучения. Моделирование траекторий тяжелых заряженных частиц в работе [22] не проводилось, их кинетическая энергия считалась поглощаемой в точке образования частиц. Как следствие, радиальное распределение поглощенной дозы от нерассеянных нейтронов не определялось. Значения поглощенной дозы нормировались на один нейтрон источника. Таким образом, для каждой i-энергетической группы суммарное дозовое ядро представляло сумму трех компонентов:

Kтлi (z, r) = K pi (z, r) + Ksi (z, r) + Kgi (z, r),

(7.32)

где KPi (z,r) – вклад в поглощенную дозу, создаваемый вблизи точ-

ки (z,r) первичными нейтронами; Ksi (z,r) – вклад в поглощенную дозу, создаваемый вблизи точки (z,r) рассеянными нейтронами; Kgi (z, r) – вклад в поглощенную дозу вблизи той же точки от вто-

244

ричного гамма-излучения, образующегося при взаимодействии нейтронов с водой, i – индекс энергетической группы.

На рис. 7.10 в качестве примера приводится зависимость KPi (z) от глубины в водном фантоме z, на рис. 7.11 – радиальные зависимостьKsi (z,r) для нейтронов разных энергетических групп и на рис.

7.12 – сравнение радиальных зависимостей Ksi (z,r) иKgi (z, r) для

энергетической группы E = 0,2 − 0,4 МэВ на глубине z = 1 см. Из

рис. 7.12 видно, что вклад в дозовое ядро от вторичного гаммаизлучения увеличивается с увеличением r, и на расстоянии r ≥ 17 см начинает превышать вклад от рассеянных нейтронов. Следует отметить, что этот вклад также увеличивается с уменьшением начальной энергии ТЛ нейтронов.

Рис. 7.10. Зависимость от глубины в водном фантоме компонента KP (z) ,

полученного в расчете усреднением поглощенной энергии при взаимодействии нерассеянных нейтронов по объему центральных ячеек вокруг оси ТЛ, для ТЛ нейтронов энергетической группы E = 0,2 – 0.4 МэВ

245

Рис. 7.11. Радиальная зависимость компонента Ksi (z,r) в водном фантоме на глубине z = 2 см для разных энергетических групп

Результаты численных расчетов для KSi (z, r) и KGi (z, r) были в

работе [24] аппроксимированы аналитическими выражениями вида:

	1	N
Kmi (z, r) =		C ij (z) exp[−k ij (z) r] ,	(7.33)
	r	j=1

где Cij и kij – эмпирические коэффициенты для i-й энергетической

группы, зависящие от глубины z; m – индекс, принимающий значения s или g; N – число членов в сумме, принятое равным 5.

Значения эмпирических коэффициентов определялись методом наименьших квадратов, минимизируя отклонения результатов расчета определенных интегралов от дозовых ядер, выраженных в форме (7.33) и полученных методом Монте-Карло, по переменной r от 0 до разных значений R. Выбранный вид аппроксимационной формулы (7.33) позволяет при расчете доз от полей произвольной формы свести двойной интеграл по площади поля с помощью триангуляции площади поля к сумме одномерных интегралов Зиверта. Погрешность аппроксимации не превышает 3 %.

246

K ip :

Рис. 7.12. Зависимость вкладов в дозовое ядро ТЛ рассеянных нейтронов (_____) и вторичного гамма-излучения (- - -) от расстояния до оси ТЛ нейтронов с энергией E = 0,2 – 0.4 МэВ на глубине z = 1 см

Как отмечалось выше, в работе [22 – 24] не изучалась радиальная зависимость компоненты K Pi (z, r) . В этих условиях авторы предложили дельта-приближение для аналитической зависимости

компоненты K Pi (z, r) от переменных z и r в виде:
K pi (z, r) = Ai	exp(−Σ i z)	δ(r),	(7.34)
	r

где Ai – константа, зависящая от энергии источника; Σi – макроскопическое сечение взаимодействия для нейтронов i-й энергетической группы.

Значение константы Ai определяется из нормировочного соотношения

∞
2π r K ip (z = 0, r) dr = (Kwi )air ,	(7.35)
0

где (K wi )air – керма воды в воздухе для нейтронов i-й энергетической группы. Из (7.34) и (7.35) получаем следующее окончательное выражение для

K pi (z, r) = (K wi )air	exp(−Σ i z)		δ(r) .	(7.36)
	2π		r
	247

Левая часть в нормировочном выражении (7.35) представляет собой суперпозиционный интеграл от компоненты дозового ядра для первичной дозы, который равен (с малой погрешностью) водяной керме, нормированной на единичный флюенс нейтронов i-

энергетической группы. Значение Σi определялось из зависимости энергопоглощения от z в центральных ячейках (см. рис. 7.10).

Результаты численных расчетов дозового ядра ТЛ нейтронов и эмпирические коэффициенты аппроксимационных аналитических выражений в работе [24] оформлены в виде библиотеки дозовых ядер в среде Microsoft Excel. В состав библиотеки входят также дополнительные подпрограммы, позволяющие рассчитать дозовые ядра для ТЛ нейтронов с произвольным начальным спектром в диапазоне энергий 0,025 эВ – 14,5 МэВ и эмпирические коэффициенты аппроксимационных аналитических выражений. По запросу в адрес НИЯУ МИФИ библиотека может быть передана заинтересованным пользователям.

3.4. Дозовые ядра для дифференциального тонкого луча

Метод дифференциального тонкого луча (ДТЛ) получил широкое распространение для расчета 3-мерных дозовых распределений при дозиметрическом планировании дистанционнолучевой терапии пучками фотонов. Впервые такой метод расчета был предложен в работе [25] и его часто называют также методом свертки/суперпозиции. Он основан на использовании дозового ядра для ДТЛ. Поясним этот метод на простом примере расчета дозы, которая создается в произвольной точке P(r ) первичным излучением,

испытавшим взаимодействие в элементе объема d 3 r ′ , находящимся вблизи точки P′(r ′) в гомогенной среде с атомным номером z и плотностью ρ (рис. 7.13).

248

Рис. 7.13. К расчету дозы от пучка фотонов методом дифференциального тонкого луча

Пусть ψ E (r ′, E, Ω) –	дифференциальный		по энергии	E и
направлению распространения				пер-
		Ω энергетический флюенс
вичных фотонов вблизи	точки	P′(r ′) . Тогда	число взаимодей-

ствий, которые испытают первичные фотоны в элементе объема
d	3					3
		r ′	будет равно μ(E, r	′) ψ E (r	′, E, Ω) d	r ′/E . Чтобы получить
поглощенную энергию в единице объема вблизи точки P от этих

взаимодействий (за счет электронов и рассеянных фотонов, образовавшихся при данных взаимодействиях), надо последнее выражения умножить на энергию первичных фотонов и на дозовое ядро

дифференциального тонкого луча KДЛ (z,E,Ω ,ρ,r′,r) , а для перехода к дозе еще поделить на ρ(r ) . Для получения полной дозы

необходимо провести интегрирование по всему облучаемому объему, энергии и направлению движения первичных фотонов. Окон-

чательное выражение для расчета дозы в произвольной точке r с помощью ядра ДТЛ имеет вид:

	ρ(1r )
D(r) =		dΩ dΕ d 3 r	′ μ(E,r ′)ψ E (r	′,E,Ω)Кдл (z,Ε,Ω , ρ,r ′,r ),
					(7.37)
			249

Так как в дистанционной лучевой терапии пучки первичных фотонов имеют обычно небольшую расходимость, то уравнение (7.37) упрощается до следующей формы:

	1	dE d	3
D(r ) =	ρ(r )			r	′μ(Ε,r	′) ΨE (r	′, Ε) K дл (E, r	′ − r ) . (7.38)

Дозовые ядра дифференциального тонкого луча были рассчитаны методом Монте-Карло для спектров 4 MВ, 6 MВ, 10 MВ, 15 MВ и 24 MВ тормозного излучения в работе [25], а для моноэнергетических фотонов в диапазоне энергий от 0,1 до 25 МэВ в работе [12, 14]. В обоих случаях в качестве среды распространения бралась вода.

При расчете дозовых ядер ДТЛ в работах [12, 14] отдельно учитывался вклад в полную дозу от четырех компонентов: первичная доза; доза от однократно рассеянных фотонов; доза от всех рассеянных фотонов; доза от тормозного и аннигиляционного излучения. Полученные результаты включены в виде отдельного раздела в библиотеку дозовых ядер [14, 19], о которой упоминалось выше. Пример радиальных распределений для разных компоненов дозового ядра ДТЛ показан на рис. 7.14.

Рис. 7.14. Радиальные зависимости полного дозового ядра и отдельных его компонентов для моноэнергетического ДТЛ фотонов с энергией 5 МэВ для углового

интервала θ = 0 3,75о

250