4

σin

=

πZ 2Z 2e4

m

1

−

1

,

(5.9)

1 2

1

T

m

I

Q

2

max

Z2

где

= Z 2

1

−

средняя энергия ионизации; Ik – энергия связи

I

k =1 Ik

4m1m2

k-электрона; Qmax =

T1.

(m + m )2

1

2

Как следует из (5.9) величина сечения пропорциональна массе налетающей частицы, квадрату ее заряда и обратно пропорциональна энергии частицы. Для электронов Qmax =T и формулу (5.9)

удобно переписать а виде

πZ2e4 1

1

πZ2e4

σin =

1

−

=

2

ϕ(x),

(5.10)

2

I

x

x

I

где φ(x) – универсальная для всех атомов функция в единицах

«пороговой энергии» x = T / I (рис. 5.5). Выражение (5.10) было впервые получено Д.Д. Томсоном в 1912 г. в классической модели парных столкновений налетающего и атомного электрона.

Рис. 5.5. Зависимость микроскопического поперечного сечения ионизации от энергии налетающего электрона [1]

Как видно из рис. 5.5, сечение ионизации имеет пороговый характер, максимум, положение которого более точные расчеты определяют при x ≈ 4 ÷ 5, и спадает в области высоких энергий по закону ~ 1/T. Однако более точные квантово-механические расче-

131

ты Бете показали, что скорость спадания оказывается более мед-

ленной, а именно, при T I по закону ~ (1/T )·lnT.

Классическая модель Томсона неоднократно улучшалась как теоретически для учета эффектов, связанных с движением атомных электронов, ускорения электронов и др., так и эмпирически на основе экспериментальных данных. Более точная зависимость φ(x), удовлетворительно аппроксимирующая сечение ионизации в широкой области энергий, показана на рис. 5.5 пунктиром и записывается в следующем виде:

ϕ(x) =	3(x − 1)	.	(5.11)
	x(x + 8)

Для качественных оценок полезно иметь распределение выбитых с оболочек атомных электронов по кинетическим энергиям – T'. Оно было получено в работе [7], используя формулу (5.4) и

полагая Q = I + T′, в виде

f (T ′) =	dσin dQ	=	1			IkT		(5.12)
	σin (Ik )						.
			(I k +T ′)			(T − Ik )
Интересно отметить, что
	0Ik f (T ′) dT ′ = 1			,				(5.13)
			2

т.е. половина электронов имеет кинетическую энергию, меньшую энергии ионизации. Вторичные электроны, выбитые из атома налетающей частицей и имеющие кинетическую энергию, достаточную для последующей ионизации атома, называются дельта-элек- тронами.

Макроскопическое сечение ионизации Σin = na·σin равно среднему числу актов ионизации на единице пути в веществе. Ниже приводятся формулы макроскопических дифференциальных по переданной энергии Q сечений неупругого рассеяния разных видов заряженных частиц на атомных электронах [8], полученные в рамках квантовой механики с учетом эффектов, связанных со спинами ча-

стиц, но без учета связи электронов с атомами, т.е. для T I . От-

метим, что при Q << Qmax и Q << T все формулы сводятся к формуле Резерфорда.

Протоны (формула Бабá):

132

Σ

(T ,Q) = 0,153

Z2

1− β2

Q

+ 1

Q

2

см2

, (5.14)

in

2

2

2

AQ

Qmax

2

г МэВ

β

T + mc

где Z2, A – заряд и массовое число атомов среды; mc2 = 938,28 МэВ;

β2 = 1− m2c4 (T + mc2 )2 ; для Qmax следует использовать релятивистскую формулу, которая для m >> me упрощается:

Qmax

=

2T (T + 2mc2 )

.

(5.15)

m2c4 / m c2 + 2(T + mc2 )

e

Альфа-частицы (формула Бабá):

Z

2

Q

см2

(5.16)

Σ

(T ,Q) =

0,153

1 − β2

,

β2 AQ2

Q

г МэВ

in

max

где для Qmax в (5.15) следует использовать mc2 = 3726,4 МэВ.

Электроны (формула Мёллера):

Z

Q (2T + m c2 )m c2

+

Σin (T,Q) = 0,153β2 AQ2

1− T − Q

(T

+ m c2 )2

2

e

e

e

(5.17)

Q

2

Q

2

см2

+

+

.

T − Q

T + mec

2

г МэВ

Так как первичный электрон и дельта-электрон не различимы, то после рассеяния электрон с меньшей энергией считается дельтаэлектроном, а электрон с большей энергией – первичным электроном. Поэтому при рассеянии электрона берут Qmax = T/2.

Позитроны (формула Бабá):

2

2

Σ

(T ,Q) = 0,153

Z2

fb2

Tx −

T

− a

− c

Q + 3mec

−

β2 AQ2

bm c2

fT

in

2

e

(5.18)

2Q

1

3

2

2

2

2 T − Q

−

+ a

x − c

2

− d +

2 d

− a

Tx

,

fb2T

где a =

Q

Q + m e c2

Q

Q + m e c2

; b =

; c =

;

f

=

T

;

m e c2

Q + 3m e c2

Q + 2m e c2

m e c2

T

d =

; x = Q .

Q + m e c2

133

Из приведенных формул видно, что при неупругих рассеяниях с атомными электронами энергия передается в основном небольшими порциями (Σin ~ 1/Q2). Вероятность же рождения дельтаэлектронов очень мала. При неупругом рассеянии изменяется не только энергия первичной частицы, но и ее направление движения. Однако так как в приведенных формулах не учитывалась связь электронов в атомах, то угол рассеяния можно определять из кинематики упругого рассеяния.

При ионизации атомов вещества налетающей частицей в электронных оболочках атомов образуются вакансии. При их заполнении, так же как и в случае выбивания атомных электрона фотонами, атом испускает характеристическое излучение и электроны Оже. Этот вопрос был рассмотрен в предыдущей главе.

2.3. Тормозное излучение заряженных частиц

При движении в веществе заряженные частицы вследствие кулоновского взаимодействия с атомами отклоняются от направления своего движения. В соответствии с законами электродинамики это приводит к испусканию электромагнитного излучения, которое называется тормозным излучением. Потери энергии заряженных частиц, идущие на образование тормозного излучения, называют радиационными (тормозными) потерями энергии. Рассмотрим этот вид взаимодействия, используя вслед за работой [1] два подхода: а) классичеcкую теорию тормозного излучения; б) квантовую теорию тормозного излучения в двух вариантах. Первый подход позволяет более наглядно выявить основные закономерности процесса, второй же дает более точные количественные результаты.

2.3.1. Сечения образования тормозного излучения на основе классической теории

Предположим, что нерелятивистская частица с зарядом Z1e и массой m движется со скоростью v в кулоновском поле ядра с зарядом Z2e, находящимся в начале координат (рис. 5.6). Так как на частицу действует сила, то она движется с ускорением и, следовательно, испускает электромагнитное излучение.

134

Рис. 5.6. К определению поперечного сечения образования тормозного излучения

Микроскопическое дифференциальное (по энергии фотонов Еγ) сечение испускания тормозного излучения в соответствии с законами классической электродинамики имеет следующий вид [1]:

dσ

br =

16

αr2 Z 4 Z 2

1 1

ln

( T0 + T0 − Eγ )2

см2

,

(5.19)

2

dE

3

e 1 2

β

E

2E

МэВ

γ

γ

γ

где Т0 – начальная кинетическая энергия заряженной частицы; α = = e2/ћc – постоянная тонкой структуры.

Отметим, опираясь на формулу (5.19) основные особенности процесса испускания тормозного электромагнитного излучения, которые остаются справедливыми и в рамках квантовой механики:

•тормозное излучение имеет непрерывный энергетический спектр, простирающийся от нуля до кинетической энергии частицы.

•так как логарифм в (5.19) – медленно меняющаяся функция

энергии фотона, то дифференциальное сечение dσbr/dEγ ~ 1/Eγ, и спектр заряженной частицы после взаимодействия тоже является непрерывным.

•так как дифференциальное сечение dσbr/dEγ ~ 1/m2, то это взаимодействие существенно лишь для легких заряженных частиц.

•дифференциальное сечение dσbr/dEγ ~ Z22 (как и сечение упругого рассеяния).

Для электрона уравнение (5.19) запишется следующим образом:

dσ

br =

16

αr2 Z 2

1 1

ln

( T0 + T0 − Eγ )2

см2

.

(5.20)

2

dE

3

e 2

β

E

2E

МэВ

γ

γ

γ

135

2.3.2. Сечения образования тормозного излучения на основе квантовой теории

Строгое описание процесса образования тормозного излучения возможно лишь в рамках квантовой электродинамики [1]. В последней этот процесс рассматривается как переход электрона между двумя состояниями непрерывного спектра с разными значения-

ми полной энергии и импульса(E0 → E, p0 → p). Этот переход со-

провождается испусканием фотона с энергией Еγ = Е0 – Е. Анализ показывает, что для свободного электрона такой процесс невозможен. Однако если включить в законы сохранения ядро, масса которого много больше массы электрона, и которое может принять любую часть импульса электрона, то процесс получает конечную вероятность перехода в любое состояние. Из этого вытекает, что энергетический спектр тормозного фотона является непрерывным.

В квантовой электродинамике для расчета сечений испускания тормозного излучения обычно применяется теория возмущений (приближение Борна). Поскольку борновское приближение основано на использовании волновых функций свободных частиц, то энергия электрона до и после излучения должна быть значительно больше энергии связи на K-оболочке атома.

Первые расчеты дифференциального сечения тормозного излучения с учетом экранирования были выполнены Бете и Гайтлером

[9]в борновском приближении. Впоследствии в их результаты были введены дополнительно различные поправки. В соответствии с

[10]макроскопическое дифференциальное сечение для электрона с T0 >> mec2 определяется выражением

dΣbr (T0 , Eγ )

=

4

N

r2

Z

2

(Z

2

+ 1)

f

F (E

, E

)

cм2

,

(5.21)

E

dEγ

137

A e

AEγ

0

γ

г МэВ

где F(E0,Eγ) – набор функций, вид которых зависит от степени экранирования ядра полем атомных электронов; fE – поправка Элверта, равная

fE =	β0	[1− exp(−2παZ2 /β0 )]					,	(5.22)
	β	1	− exp(−2παZ	2	/ β)	]
		[

которая вводится для учета искажение волновых функций электрона в кулоновском поле при небольших скоростях.

136

Степень экранирования характеризуется параметром γ, который представляет отношение эффективного размера атома (в модели Томаса – Ферми) к максимальному значению прицельного параметра, определяющего размеры области взаимодействия. Чем меньше γ, тем больше экранирование. Значение γ находится из формулы

	γ = 100	m c2	Eγ	Z2−1/ 3 ,	(5.23)
		e
			E0 − Eγ
		E0

где E0 – полная начальная энергия электрона.

Из (5.23) следует, что γ уменьшается с увеличением энергии электрона. Для ультрарелятивистских электронов экранирование можно считать полным для всех энергий тормозных фотонов. Значение функции F(E0,Eγ) для T0 >> mec2 рассчитывается по формулам, вид которых зависит от значения γ [1]:

при γ > 15 (отсутствие экранирования):

2

2

2E0 (E0 − Eγ )

1

F(E0 , Eγ ) = 1

+ a

−

a

ln

−

− f (Z2 )

;

3

2

E

2

m c

при γ ≈ 0 (полное экранирование):

F(E0 , Eγ ) =

2

−

2

−1/ 3

) +

1

a − f (Z2 )

;

1+ a

3

a ln (183Z2

9

при γ < 2:

	2	f1 (γ)			ln Z2
F(E0 , Eγ ) = (1+ a		)		−		− f (Z2 )	−
			4		3

2a f2 (γ)

ln Z2

−

−

− f (Z2 )

;

3

4

3

при 2 < γ < 15:

2

2

2E0 (E0

− Eγ )

1

F(E0

, Eγ ) = 1

+ a

−

a

ln

−

− c(γ) −

3

2

E

2

m c

В формулах (5.24) – (5.27) a = (E0 - Eγ)/ E0,

f (γ) = 20,865 −

3,24δ + 0,625δ2

1

f (γ) = 20,209 −1,930δ − 0,086δ2

дляδ ≤ 1;

2

137

(5.24)

(5.25)

(5.26)

f (Z2 ) . (5.27)

(5.28)

f1 (γ) = f2 (γ) = 21,120 − 4,184ln(δ + 0,952) дляδ > 1; (5.29)

	f (0) = 4ln(183Z −1/ 3 ); f			(0) = f (0) − 2 / 3; δ = 1,36γ;	(5.30)
	1	2	2	1

c(γ) = (0,51− 0,12ln γ)/γ.

Функция f2(Z2) – кулоновская поправка, уточняющая борновское приближение для больших Z2. Она равна

			∞		n(n2 + (αZ2 )2 )								−1
f2 (Z2 ) = (αZ2 )2														≈
			n=1															(5.31)
			1					0,5			0,333			0,25
≈ a	2					+				+			+					,
												2
			1+ a	2			4	+ a	2		9 + a			16 + a		2

где a = Z2/137.

Детальные расчеты макроскопического дифференциального сечения Σbr(T0,Eγ) для энергий электронов от 1 кэВ до 1 ГэВ и для веществ с Z2 от 6 до 92 проведены в работе [11]. Вид функций F(E0,Eγ) в зависимости от энергии фотонов приводится на рис. 5.7.

Рис. 5.7. Зависимость энергетического распределения интенсивности тормозного излучения в воздухе от относительной энергии фотонов для разных начальных кинетических энергий электронов. Обозначения: Т0 = 10 (1); 20 (2); 40 (3); 100 (4); 200 (5); 1000 (6); 10000 (7) МэВ и ∞ [1]

Из формулы (5.24) следует, что вероятность испускания фотона с энергией Eγ пропорциональна 1/ Eγ, в то время как при неупругих

138

столкновениях вероятность передачи энергии Q дельта-электрону пропорциональна 1/ Q3. Поэтому рождение тормозного фотона с большой энергией более вероятно, чем образование дельтаэлектрона с той же энергией.

Несмотря на различные поправки сечения Бете – Гайтлера расходятся с экспериментальными данными для энергий электронов менее 2 МэВ. Для этой области энергий Праттом с коллегами в работе [12] получены более точные значения дифференциальных сечений, являющиеся результатом точного решения уравнения Дирака с учетом экранирования. Сечения представлены в виде таблиц для трех переменных: Z2, T0 и Eγ. На рис. 5.2 приводится энергетическое распределение тормозных фотонов, рассчитанное в работе

[12].Сравнивая рис. 5.2 и 5.7, видим, что точные расчеты дают не

нулевое значение дифференциального сечения при Eγ = T0, что расходится с теорией Бете – Гайтлера. В практических расчетах чаще пользуются эмпирическими формулами, которые объединяют результаты Пратта для небольших энергий электронов и результаты Бете – Гайтлера для релятивистских энергий [11].

Простая аналитическая аппроксимация результатов Пратта, позволяющая вычислять дифферециальные по энергии поперечные сечения тормозного излучения в области энергий электронов от 0,025 до 30 МэВ с погрешностью менее 10 %, предложена в работе

[13].Она имеет вид

β02 Eγ dσ				,Z2 ) = C − A (Eγ /T0 )	B
		br	= f (k,T0			,	(5.32)
Z2 dEγ

где A,B,C – эмпирические коэффициенты, приводимые в работах

[13] и [1].

Как отмечалось выше, во взаимодействии, приводящем к испусканию тормозного излучения, энергия и импульс налетающего электрона распределяются между тремя частицами: электроном, тормозным фотоном и ядром отдачи. Так как у ядра очень большая масса, оно получает малую долю энергии, но зато может получить импульс, сравнимый с импульсами электрона и фотона. Поэтому выполнение законов сохранения энергии и импульса не приводит к жесткой связи между энергией и направлением испускания тормозного фотона. Электрон может испускать фотоны одной энергии по разным направлениям.

139

Угловое распределение тормозного излучения является анизотропным, вытянутым в направлении движения налетающего электрона, причем анизотропия увеличивается с ростом энергии электрона. Для расчета углового распределения тормозного излучения, испускаемого релятивистскими электронами, можно использовать сечение Шиффа, приводимое в ряде работ, например [14]:

d 2σ

=

4Z 2r2 y 16y2 E

−

(E − E)2

E2 + E2

−

4y2 E

,

dE dy

137E

a2 E

aE2

+

aE2

aE2

ln M (y)

br

e

0

0

γ

γ

0

0

0

0

(5.33)

где y =

E

θ

, a

= ( y2 + 1)2

1

Eγ mec2 2

Z 1/ 3

2

0

,

=

+

2

.

m c2

M ( y)

2E E

111( y2 + 1)

e

0

Интегрирование (5.34) по y приводит к микроскопическому дифференциальному по энергии фотонов поперечному сечению:

dσ

br

2Z 2r2

E 2

2E

2arctgb

e

=

1

+

−

ln M (0) + 1−

+

dE

137E

E

3E

b

γ

γ

0

0

(5.34)

2

E

2

2

4(2 − b

)

8

2

+

ln(1+ b

)

+

arctgb −

+

,

E0

b2

3b2

3b2

9

где b =

2E EZ

1/ 3

,

1

=

Eγ mec2

2

+

Z1/ 3

2

.

0

2

111E m c2

M (0)

2E E

111

γ

e

0

Угловое распределение фотонов для электронов с энергиями более нескольких МэВ можно приближенно представить в следующем виде [1]:

f ( y) = 0,097[y exp(−0,625y) + 27 y exp(−1,875y)], (5.35)

которое слабо зависит от E0, Eγ и Z2. Более подробно этот вопрос обсуждается в главе 8.

140