4

3. Тормозные способности

3.1.Общее рассмотрение

Число взаимодействий заряженных частиц с атомами среды, как неоднократно подчеркивалось выше, на много порядков превышает число взаимодействий, которое испытывают фотоны до своего поглощения в веществе. Поэтому для количественного описания взаимодействия заряженных частиц с веществом в дозиметрии используются обычно не микроскопические сечения отдельных процессов, а макроскопические характеристики, связанные со скоростью потери частицами своей энергии на единице пути в конкретном веществе.

Наиболее употребительными понятиями, характеризующими свойства вещества по отношению к поглощению энергии заряженных частиц, являются понятия полной тормозной способности и полной массовой тормозной способности. Под первой величиной в соответствии с рекомендациями Международной комиссии по радиационным единицам (МКРЕ) понимается отношение (dT/dx)tot, где dT – полные потери кинетической энергии, которые испытывает заряженная частица при прохождении в материале пути dx. Под понятием полной массовой тормозной способности понимается

отношение dT к произведению ρ·dx (dT/(ρ·dx))tot, где dT – полные потери кинетической энергии заряженной частицей при прохожде-

нии пути dx в материале с плотностью ρ. Единицами измерения

(dT/dx)tot обычно являются МэВ/см или Дж/м и (dT/(ρ·dx))tot – МэВ·см2/г или Дж·м2/кг (1 МэВ·см2/г = 1,6·10-14 Дж·м2/кг). Для обо-

значения (dT/dx)tot часто применяется Stot, а для обозначения

(dT/(ρ·dx))tot – (S/ρ)tot.

Обычно (S/ρ)tot представляют в соответствии с разными видами потерь энергии в виде суммы:

S

dT

S

S

(5.36)

=

=

+

,

ρ tot

ρdx tot

ρ c

ρ r

где индекс "c" указывает, что это массовая тормозная способность, обусловленная столкновениями частиц с атомами, приводящими к ионизации и возбуждению атомов (часто потери энергии на ионизацию и возбуждение называют потерями на столкновения); индекс

141

"r" указывает, что это массовая тормозная способность, обусловленная взаимодействиями, приводящими к потере энергии на испускание тормозных фотонов (потери на излучение или радиационные потери энергии). Строго говоря, во всех формулах для потери энергии перед dT/dx должен стоять знак минус, но для краткости мы его будем часто опускать.

Квантовая теория расчета тормозной способности заряженных частиц была разработана Г. Бете на основе борновского приближения. Это приближение предполагает, что скорость заряженной частицы (v = βc) много больше, чем максимальная скорость (u) атомных электронов на боровской орбите. Это условие лучше выполняется для легких атомов и налетающих частиц с небольшими зарядами и большими скоростями. Относительная погрешность данного приближения порядка (u/v)2 . Бете провел классификацию соударений не по прицельному параметру b, а по переданному атому импульсу, разделив все столкновения на "мягкие" (или далекие) и "жесткие" (или близкие) столкновения:

	S		dT		dT			(5.37)
			=	s	+	h	,
	ρ c			ρdx c		ρdx c

где индексы "s" и "h" означает "мягкие" (или далекие) и "жесткие" (или близкие) столкновения.

Далекие (мягкие) – это такие столкновения, при которых атомному электрону передается энергия меньше некоторой пороговой энергии (H). Близкие (жесткие), напротив столкновения, когда налетающая частица передает атомному электрону энергию Q > H. При этом необходимо, чтобы величина удовлетворяла двум условиям: а) быть достаточно большой по сравнению с энергией связи электрона в атоме; б) быть настолько малой, чтобы расстояния между взаимодействующими частицами было больше атомных размеров.

Необходимость такого деления связана со следующими причинами. При близких соударениях следует учитывать квантовые эффекты, связанные со спином и магнитным моментом частицы, эффект перезарядки – обмен электронами между налетающим тяжелым ионом и атомом. Для налетающего электрона необходимо также учитывать электронный обмен – захват электрона атомом с одновременным испусканием атомного электрона. Но при близких

142

столкновениях Q > Eсв и атомные электроны можно считать свободными.

При далеких столкновениях, когда прицельный параметр больше поперечных размеров атома, эффекты, отмеченные выше для близких столкновений, не требуется учитывать, но необходимо принять во внимание связь электрона в атоме. Кроме того, при релятивистских энергиях заряженная частица может взаимодействовать с большим числом атомов среды и необходимо учитывать изменение свойств среды полем пролетающей частицы [15]. Ф. Блох уточнил квантовое рассмотрение Бете в борновском приближении и получил более общее выражение для потерь на ионизацию.

Таким образом, выражения для определения членов в уравнении (5.37) можно записать в следующем виде:

S

dT

1

H

dΣ

Qmax

dΣ

=

=

Q

dQ +

Q

dQ

,

(5.38)

ρ c

ρdx c

ρ Q

dQ s

H

dQ h

min

где (dΣ/dQ)s и (dΣ/dQ)h – дифференциальные по переданной энергии макроскопические сечения для мягких и жестких взаимодействий заряженных частиц соответственно; Qmin и Qmax – минимальное и максимальное значение энергии, которое может быть передано при столкновении атомным электронам без учета их связи в атоме.

Для тяжелых заряженных частиц, если их кинетическая энергия меньше энергии массы покоя, Qmax равно:

Q

= 2m c2

β2

= 1,022

β2

(МэВ),

(5.39)

max

2

2

e

1− β

1− β

что для протонов составляет 20 кэВ при T = 10 МэВ и 0,2 МэВ при

T = 100 МэВ. Для электронов же, как отмечалось выше, Qmax = Т/2. Значения Qmin и Qmax связаны между собой соотношением

	Q		2m c2β2	2
	max	=	e		,	(5.40)
	Qmin
			I

где I – средний потенциал возбуждения атома, который можно приближенно определить для одноэлементной среды по эмпирической формуле:

I / Z2 ≈ 9,76 + 58,8Z2−1,19 (эВ) .

(5.41)

143

3.2. Компонент мягких столкновений

Формула Бете для компонента мягких столкновений в уравнении (5.37) может быть записана следующим образом [3]:

dT

=

2Cm c2Z 2

2m c2β2 H

− β2

s

e

1

ln

e 2

)I

2

,

(5.42)

2

ρdx c

β

(1− β

где

C = π(N

A

Z

2

/ A)r2

= 0,150Z

2

/ A см2 /г, в котором NAZ2/A – число

0

электронов в одном грамме среды распространения. Вид сомножителя перед скобкой можно упростить как

k =	2Cm c2 Z 2		= 0,1535	Z 2 Z	2		МэВ× см2		(5.43)
	e2	1		1				.
				A β	2		г
	β

Средний потенциал возбуждения атома представляет геометрически среднюю величину всех ионизационных потенциалов и потенциалов возбуждения атомов среды. Влияние химических связей на значение I для сложных по составу веществ изучалось Т.Дж. Томсоном, результаты исследования были суммированы в работе [16]. Они также приводятся в приложении к работе [3]. В некоторых случаях для H, C, N и О эффект существенен.

3.3. Компонент близких столкновений для тяжелых заряженных частиц

Вид члена близких столкновений зависит от вида заряженной частицы. Рассмотрим сначала случай тяжелых частиц. Соответствующая формула может быть записана в следующем виде [3]:

dTh				Qmax		− β	2		(5.44)
		= k ln						.
	ρdx c			H

Объединяя выражение (5.44) и (5.42), получим массовую тормозную способность для суммы далеких и близких столкновений

тяжелых заряженных частиц:
dT		= k			2mec2β2Qmax			− 2β	2		(5.45)
			ln		2	)I	2			.
ρdx c					(1− β

Последнюю формулу можно упростить, подставив выражение для Qmax и придти к следующему уравнению:

144

dT			= 0,307	Z 2 Z	2		+ ln		β2				− β2
				1		13,8373									.	(5.46)
					2					2
				A β					I (1− β
	ρdx c										)

Рассмотрим ряд особенностей формул (5.45) и (5.46):

1.Зависимость тормозной способности от параметров среды выражается множителем Z/A перед скобкой и значением ln I. Оба

фактора при переходе от C к Pb уменьшают (dT/ρdx)c, первый – на 20 %, а второй – на 48 % для β = 0,1 (протоны ~ 5 МэВ), в то время как для для β = 0,85 (протоны ~ 850 МэВ) только на 24 %.

2.Зависимость от скорости частиц вытекает из члена β2, нахо-

дящегося перед скобкой и внутри скобки. Множитель перед скобкой сначала быстро уменьшает (dT/ρdx)c с увеличением β2, однако с приближением β → 1, он теряет свое влияние. Значение (dT/ρdx)c в этом случае достигает широкого минимума со значением около 1 – 2 МэВ·г/см2 и дальше опять медленно возрастает (рис. 5.8). Фактор 1/β2 предполагает, что тормозная способность неограниченно увеличивается при приближении скорости частицы к нулю. В реальности формула (5.46) не работает в этой области, как будет рассмот-

рено ниже. Однако резкое возрастание (dT/ρdx)c при β → 0 приводит к образование так называемого пика Брэгга вблизи конца пробега частицы (рис. 5.9).

Рис. 5.8. Зависимость массовый тормозной способности столкновений для тяжелых заряженных частиц (dT/ρdx) от β (верхняя ось) и от отношения кинетической энергии к энергии массы покоя частиц (T/M0c2) [17]

145

3.Зависимость (dT/ρdx)c от заряда налетающей частицы пропорциональна ~ Z22.

4.Зависимость (dT/ρdx)c от массы налетающей частицы в уравнении (5.46) отсутствует.

5.Кинетическая энергия, требуемая для достижения частицей данной скорости, пропорциональна массе покоя:

1

1

2 1/ 2

T = M0c2

− 1

и β = 1

−

.

(5.47)

1− β2

(T / M0c

2

) + 1

Рис. 5.9. Кривая Брэгга для тяжелых заряженных частиц в биологической ткани

3.4. Оболочечная поправка

Формула Бете – Блоха, записанная в виде уравнения (5.46), во многих случаях неудовлетворительно совпадает с экспериментальными данными. Для повышения точности расчетов в нее вводится ряд поправок, наиболее распространенными из которых являются оболочечная поправка (U) и поправка на эффект плотности (δ). Уточненная формула принимает вид

146

dT

2m c2β2

− β2 − U

= 2k ln

e

− δ =

(1− β

2

ρdx c

)I

(5.48)

Z 2 Z

β2

− β2

− ln I − U − δ

= 0,3071

1

2

13,8373 + ln

.

2

2

A β

1− β

Оболочечная поправка (U) вводится,

когда скорость проходя-

щих через среду частиц перестает быть много больше скорости орбитальных электронов, т.е. условия аппроксимации Борна не удовлетворяются. Так как электроны на K-оболочке имеют максимальную скорость, то на них в первую очередь сказывается недостаточная скорость налетающих частиц. Далее следуют электроны на L-оболочке и т.д. Поправка учитывает, что орбитальные электроны при недостаточных скоростях налетающих частиц менее эффективно воспринимают энергию от этих частиц. Она была впервые введена Бете и представляет сумму слагаемых, связанных с разными оболочками атома:

U =	2CK	+	2CL + .......,	(5.49)
	Z2		Z2

где CK и CL – члены, относящиеся к K- и L-оболочкам, соответственно. Влиянием других оболочек обычно пренебрегают. Фактически величина всей поправки определяется первым членом для формулапараметра CK, в котором в работе [18] предлагается эмпирическая

	CK = qt exp(−rt),				(5.50)
q = 9,67 − 17,3p + 11p2
p = 0,6354 + 6,9 10−3 Z2 − 4,810−5 Z22
где
r = 3,869 − 6,775 p + 4,05 p2
	− 0,3)	2	/T	(T вМэВ).
t = 0,024975(Z2

Отметим, что оболочечная поправка мала при больших скоростях заряженных частиц. Зависимость U в виде C/Z2 от энергии протонов показана на рис. 5.10.

Второй поправочный фактор δ, учитывающий поляризацию среды или эффект плотности в конденсированных средах становится значимым, когда кинетическая энергия частицы начинает пре-

147

вышать энергию массы покоя. Для тяжелых заряженных частиц – это область высоких энергий, которая в данном пособии не рассматривается, но для электронов и позитронов его влияние весьма существенно, что будет рассмотрено ниже.

Рис. 5.10. Зависимость оболочечной поправки от энергии протонов [19]

3.5. Массовая тормозная способность для электронов и позитронов

Выражение для расчета массовой тормозной способности электронов и позитронов можно получить, объединяя формулу Бете для далеких (мягких) столкновений (5.42) и соотношения для близких (жестких) столкновений, основанные на формулах для сечений неупругого рассеяния электронов (формула Меллера (5.17)) и позитронов (формула Баба (5.18)). Результирующее уравнение, общее для электронов и позитронов, имеет вид

dT

τ2 (τ + 2)

2C

= k ln

+ F± (τ) − δ

−

Z

,

(5.51)

ρdx

2(I / m c2 )

2

c

e

где τ = T/mec2; функции

F± (τ) отличаются для электронов и пози-

тронов. Для электронов имеем

F − (τ) = 1− β2 +

τ2 / 8 − (2τ + 1)ln 2

,

(5.52)

(τ + 1)2

и, соответственно, для позитронов

148

F + (τ ) = 2ln 2 −	β2			+	14	+	10		+	4			(5.53)
			23									.
	12				τ + 2		(τ + 2)	2		(τ + 2)	3

3.6. Эффект плотности или поправка на поляризацию среды

При скоростях частиц v ≈ c коэффициент перед квадратной скобкой в (5.48) практически не зависит от скорости частиц, однако логарифм с увеличением энергии возрастает за счет члена (1-β2) в знаменателе. Следовательно, тормозная способность, пройдя через минимум, должна бы неограниченно возрастать с увеличением v из-а лоренцовской трансформации электромагнитного поля с увеличением радиуса области в поперечном направлении относительно траектории частицы. Однако эксперименты показывают незначительный релятивистский рост тормозной способности.

Объясняется такое поведение следующими обстоятельствами. До сих пор при рассмотрении (dT/ρdx)c предполагалось, что атомы испытывают взаимодействие независимо друг от друга, что является относительно справедливым только для газов. В конденсированных же средах расстояние между атомами в десятки раз меньше, чем в газах. В таких условиях дипольная трансформация атомов вблизи трека пролетающей частицы ослабляет силу кулоновского поля в особенности для далеко расположенных (от трека) атомов. Как следствие, (dT/ρdx)c для конденсированных сред в релятивистской области энергий с увеличением энергии частицы возрастает незначительно и ее рост связан лишь с увеличением максимальной переданной энергией атомным электронам. Поляризация среды тем выше, чем больше ее плотность, поэтому этот эффект назван эффектом плотности.

Эффект плотности детально изучался Штернхеймером и обобщен им в виде формул и таблиц в работах [20, 21]. В практических расчетах для вычисления эффекта плотности обычно используют формулы Штернхеймера, приводимые также в работе [3]:

δ = 4,606X + C + a(X1 − X )3			X0 < X < X
			(5.54)
δ = 4,606X + C X > X1
δ = 0	X < X	0
		149

p

I

A

| C | −4,606X

где X = lg

; C = −2ln

−1; a =

3

0

;

M0c

28,8

ρZ2

(X1 − X0 )

p – импульс частицы; значения X1 и X0– определяются следующим образом:

а) Твердые и жидкие вещества:

X1 = 2 при I < 100 эВ и X1 = 3 при I ≥ 100 эВ; X0 = 0,2 при I < 100 эВ и |C| < 3,681;

X0 = 0,326|C|-1 при I < 100 эВ и |C| ≥ 3,681; X0 = 0,2 при I >100 эВ и |C| < 5,215;

X0 = 0,326|C|-1,5 при I >100 эВ и |C| > 5,215.

б) Газы при нормальных условиях:

X1 = 4 при |C| < 12,25 и X1 = 5 при |C| < 10;

X0 = 1,6 при |C| < 10; X0 = 1,7 при 10 ≤ |C| ≤ 10,5;

X0 = 1,8 при 10,5 ≤ |C| ≤ 11; X0 = 1,9 при 11 ≤ |C| ≤ 11,5; X0 = 2,0 при |C| < 13,804; X0 = 0,326|C| при |C| ≥ 13,804.

На рис. 5.11 показана зависимость поправки на эффект плотности для электронов от параметра X.

Рис. 5.11. Зависимость поправки на плотность от X и от кинетической энергии T для электронов [21]

Из представленных данных видно, что δ увеличивается почти линейно для конденсированных сред, начиная с X ≥ 1. На рис. 5.12 для иллюстрации представлена зависимость (dT/ρdx)col от энергии

150