4

В большинстве взаимодействий заряженные частицы теряют лишь небольшую часть своей энергии, поэтому прежде чем потерять свою кинетическую энергию они испытывают громадное количество столкновений. Например, при замедлении электрона в алюминии от энергии 0,5 МэВ до 0,25 МэВ он испытывает в среднем ~ 3·104 взаимодействий. По этой причине в большинстве практических расчетов в дозиметрии применяются не микроскопические, а макроскопические сечения.

Следующее фундаментальное отличие заключается в том, что теряя энергию, фотон сохраняет свою скорость. У заряженных же частиц потеря энергии приводит и к уменьшению их скорости, и после достижения энергий, лежащих ниже уровня ионизации, они входят в процесс теплового равновесия со средой. Таким образом, в отличие от фотонов заряженные частицы имеют конечный пробег.

К основным процессам взаимодействия заряженных частиц с атомами можно отнести следующие:

•упругое рассеяние в кулоновском поле атомов, следствием которого в основном является изменение направления движения частиц;

•неупругие столкновения с атомными электронами, в результате которых энергия частиц расходуется на возбуждение и ионизацию атомов;

•тормозное излучение, заключающееся в испускании электромагнитного излучения в электрическом поле атомов;

•упругие и неупругие столкновения с ядрами атомов, следствием которых является рассеяние частиц, возбуждение ядер, рождение новых частиц.

Вероятность конкретного взаимодействия зависит от массы, величины и знака заряда и энергии частицы. В большой степени характер взаимодействия определяется так называемым прицельным параметром b, который представляет относительное расстояние по перпендикуляру между траекторией налетающей частицы и ядром атома по сравнению с размером атома a (рис. 5.1). Значение данного параметра может быть b >> a; b ~ a и b << a. Рассмотрим особенности взаимодействия заряженных частиц с атомами в указанных интервалах b, опираясь на результаты анализа проблемы, представленные в обобщающих работах [1 – 3].

121

Рис. 5.1. Определение прицельного параметра

1.1. Особенности кулоновского взаимодействия заряженных частиц при разных значениях прицельного параметра

1.1.1. Далекие (или мягкие) столкновения (b >> a)

Если траектория заряженной частицы проходит на значительном расстоянии от атома, то кулоновское поле частицы действует на атом в целом. В результате атом может быть временно поляризован или переведен на более высокий энергетический уровень, а в некоторых случаях испустить электрон, находящийся на валентной орбите. При этом частица передает атому очень небольшое количество энергии (порядка нескольких эВ). Такие взаимодействия называются далекими или мягкими.

Так как большие значения b намного вероятнее, чем пролет на близком расстоянии от конкретного атома, то такие взаимодействия являются самими многочисленными среди всех столкновений. Как следствие, в мягких столкновениях заряженные частицы теряют в среднем половину своей энергии. При определенных условиях небольшую часть своей энергии (< 0,1 % от суммарной потери в далеких столкновениях) частица в результате мягких столкновений может потратить на испускание черенковского излучения.

122

1.1.2. Близкие (или жесткие) столкновении (b ~ a)

Если прицельный параметр b сравним с размерами атома а, то заряженная частица будет скорее взаимодействовать с одиночным электроном атома, а не с атомом в целом. Такое столкновение называется близким или жестким и сопровождается существенной передачей энергии атомному электрону. В результате электрон может быть испущен атомом, приводя его в ионизированное состояние и последующий процесс релаксации. Испущенный электрон, называемый δ-электроном, может перенести значительную энергию на достаточно большое расстояние от атома, что имеет важное практическое значение для дозиметрии. Так как энергия, передаваемая в таких столкновениях, велика по сравнению с энергией связи, то при теоретическом анализе процесса электрон считается свободным.

Необходимо заметить, что всякий раз, когда в результате жесткого столкновения с внутренней орбиты атома испускается электрон, возникает процесс эмиссии атомом характеристического излучения или электронов Оже аналогичный процессу, возникающему при выбивании электрона фотоном.

1.1.3. Кулоновское взаимодействие с полем ядра (b << a)

Если прицельный параметр много меньше радиуса атома, то кулоновское взаимодействие заряженной частицы происходит, в основном, с ядром. Этот вид взаимодействия наиболее важен для электронов. Почти все такие столкновения, за исключением 2 – 3 % [3], являются упругими, и они не сопровождаются поэтому испусканием тормозного излучения или возбуждением ядра. Электрон в таком взаимодействии теряет незначительное количество энергии, необходимое для выполнения закона сохранения импульса, но заметно отклоняется от направления своего первоначального движения. Это является причиной извилистой траектории электрона, особенно в средах с большим атомным номером, и большого значения коэффициента обратного рассеяния от сред по сравнению с фотонами. Дифференциальное поперечное сечение упругого рассеяния на атом пропорционально Z 2 (см. далее).

123

В оставшихся 2 – 3 % случаев имеет место неупругое взаимодействие в поле ядра, сопровождающееся испусканием электромагнитного тормозного излучения и отклонением электрона от направления движения. При таких взаимодействиях электрон теряет значительную часть своей кинетической энергии (до 100 %). Вероятность испускания тормозного излучения сильно зависит от атомного номера среды (пропорционально ~ Z2) и массы частицы (при одинаковой скорости обратно пропорциональна ~m-1) (см. далее). На практике этот эффект важен только для электронов и для сред с высоким Z . Для сред с низким Z в области энергий электронов меньше 10 МэВ им можно пренебречь. Тормозные фотоны имеют непрерывное энергетическое распределение (рис. 5.2) с максимальной энергией, равной энергии электрона, и анизотропное угловое распределение, направленное преимущественно вперед (подробнее см. далее).

Рис. 5.2. Типичный энергетический спектр тормозного излучения, испускаемый при замедлении электронов в меди для разных начальных энергий электронов, по данным работы [12]

Позитроны, кроме перечисленных выше взаимодействий, имеют еще один вид взаимодействия, называемый "аннигилляция на лету". В этом процессе позитрон аннигилирует с электроном до своей остановки, т.е. имея определенную кинетическую энергию. Данная энергия передается одному или обоим фотонам, образующимся

124

при аннигиляции, поэтому их энергия в этом случае не будет равна

0,511 МэВ.

1.1.4. Взаимодействие тяжелых заряженных частиц с ядрами

Если тяжелая заряженная частица, например протон или α- чатица, обладают достаточной кинетической энергией (~ 100 МэВ), то в случаях когда их прицельный параметр меньше радиуса ядра, она может испытать неупругое взаимодействие с ядром. В этом процессе первичная заряженная частица прямо взаимодействует с одним или несколькими нуклонами ядра, передавая им в столкновении свою кинетическую энергию. В результате ядерные нуклоны могут быть испущены из ядра в процессе внутриядерного каскада. Их угловое распределение является сильно вытянутым вперед. Ядро, оказавшееся после этого в сильно возбужденном состоянии, выходит из него через эмиссию так называемых испарительных частиц (главным образом, нуклонов с относительно низкой энергией) и γ-излучения. Данный эффект изменяет пространственное распределение поглощенной дозы, так как часть кинетической энергии, которая могла бы быть передана в среду через процессы локальное возбуждения и ионизации, теперь будет унесена испарительными нейтронами и γ-излучением. Детальный анализ этого вида взаимодействия содержится в работе [4]. По оценке работы [5] максимальный дефицит дозы, связанный с уносом испарительных нейтронов и фотонов от точки взаимодействия, не больше 2,5 %, что является верхней оценкой.

Специальный случай, где ядерные взаимодействия тяжелых заряженных частиц с ядром имеют важное значение для дозового распределения, представляет образование π- мезонов. Эти заряженные частицы, масса которых в 273 раза выше, чем масса электронов, за счет кулоновского взаимодействия производят вдоль своего трека интенсивное возбуждение и ионизацию атомов.

125

2. Cечения взаимодействия заряженных частиц с орбитальными электронами и ядрами

2.1. Упругое рассеяние заряженных частиц

Задача об упругом рассеянии заряженных частиц впервые была рассмотрена Резерфордом. На основе анализа экспериментальных данных он, исходя из планетарной модели атома, получил формулу для дифференциального сечения упругого рассеяния заряженных частиц, которую можно записать в следующем виде [1]:

	dσ		el	=	Z 2 Z 2e4	1	,	(5.1)
					1 2
						sin4 θ / 2
где E = μv2		dΩ			16E2
	/ 2; μ = m m /(m + m ); v − скорость первой (налетаю-
1,0	1	2		1	2	1,0

щей) частицы на удалении (до взаимодействия) от второй покоящейся частицы; θ – угол рассеяния налетающей частицы в системе центра инерции (рис. 5.3); Z1, m1 и Z2, m2 – заряд и масса первой и второй частицы соответственно.

Рис. 5.3. Траектория заряженной частицы в кулоновском поле отталкивания: θ – угол рассеяния в СЦИ; r – расстояние между частицей и началом координат, где расположен силовой центр

Формула Резерфорда фактически описывает упругое рассеяние нерелятивистских частиц атомом без учета эффекта экранирования заряда ядра орбитальными электронами в системе центра инерции (СЦИ). Отметим три особенности формулы Резерфорда: а) сечение не зависит от знака заряда, т.е. полученный результат относится в равной мере как к кулоновским полям отталкивания, так и к притяжения; б) дифференциальное сечение сильно вытянуто вперед (рис. 5.4); в) при θ → 0 формула Резерфорда расходится, поэтому

126

она не применима для небольших углов рассеяния (< 3o), которым соответствуют большие значения прицельного параметра. Дифференциальное сечение в лабораторной системе координат (ЛСК) описывается формулой [6]:

dσel	2		2	4		cosθ ±		1− (m / m )2 sin			2	θ	2
		Z1	Z2 e				1	1	2			1			(5.2)
dΩ1	= 4T1 sin4 θ1						± 1− (m / m )2 sin2			θ				,
								1	2	1

где индекс "1" относится к налетающей частице; T1 – кинетическая энергия налетающей частицы; при m1 < m2 в формуле перед корнем следует брать положительный знак; при m1 > m2 расчет следует проводить для знаков плюс и минус и складывать результаты.

Рис. 5.4. Зависимость дифференциального сечения Резерфорда для α-частиц от угла рассеяния на атомах золота с учетом (1) и без учета экранирования (2) [1]

Если m1 << m2, что соответствует рассеянию электрона на атоме, то θ1 ≈ θ, и нетрудно получить формулу для дифференциального сечения в ЛСК:

	dσel	=	Z12 Z22e4	1		.	(5.3)
	dΩ		16T 2	sin4 θ	/ 2
	1		1	1

Найдем теперь дифференциальное сечение по переданной энергии dσ/dQ, используя преобразование производных [1]:

dσ		dσ dΩ		=	πZ 2 Z 2e4 m 1							(5.4)
dQ	= dΩ dQ				T m			1		Q2 .
					1	2
						1	2

127

Полученное выражение наглядно показывает, что наибольшую вероятность при упругом рассеянии заряженных частиц имеют события с малыми потерями энергии.

Как отмечено выше, в формуле Резерфорда не учитывается эффект экранирования. Учет этого эффекта выполняется в квантовомеханическом приближении Борна [1,7]. В результате формула (5.1) принимает следующий вид:

dσel			Z12e4	1			2	(5.5)
dΩ	=					| Z2	− F (q) | ,
			16E2		sin4 θ / 2

где F(q) – атомный фактор рассеяния или атомный формфактор, характеризующий пространственное распределение заряда внутри атома; q – передаваемый импульс.

При рассеянии быстрых частиц на большие углы, что соответствует малым значениям прицельного параметра F(q) → 0 (экранирование отсутствует), т.е. налетающая частица не чувствует электронной оболочки и рассеивается только ядром. Наоборот, при больших b, что соответствуют малым углам рассеяния, поле ядра сильно экранируется полем атомных электронов (Z2 - F(q)) → 0 и сечение оказывается существенно меньше резерфордовского сечения (см. рис. 5.4).

Метод учета экранирования с помощью формфактора является наиболее точным, но эти расчеты достаточно сложны, поэтому в практических расчетах учет экранирования часто проводится с помощью различных феноменологических подходов. Один из таких подходов основан на использовании потенциала атома в форме, предложенной Бором. Результирующее выражение для дифференциального сечения упругого рассеяния с учетом экранирования записывается в следующем виде [1]:

	dσ	el		=	Z 2 Z 2r2				m c				2	2	m + m			2		1		,	(5.6)
					1		2	e				e					1 2
												T					m		(1	+ 2η − cosθ)	2
	dΩ						4
												1					2
где η =	α2 Z		2/3		m + m					2		m m c2					− параметр экранирования;
		2					1		2				e		e
							m2
	8											m1		T1

α = 1/137 – постоянная тонкой структуры.

Из формулы (5.6) видно, что когда θ >> 2η1|2, то сечение рассеяния совпадает с резерфордовским, и следовательно, экранирование

128

ядра электронами не оказывает влияния. В обратном случае величина сечения при малых углах рассеяния стремится к постоянному значению.

Параметр экранирования рассчитывался в ряде работ, но чаще всего в настоящее время используется выражение, полученное Мольером, который использовал экранированный кулоновский потенциал в соответствии с моделью атома Томаса ̶ Ферми:

η = 1,7 10−5	Z22/3	1− β2				Z	2	2		(5.7)
		β	1,13	+ 3,76					χ ,
						137β

где β = v/c; χ = (T/(T+mec2))1/2 – эмпирическая поправка для электронов небольших энергий.

Для тяжелых заряженных частиц и больших углов рассеяния дифференциальное сечение отличается от резерфордовского ввиду действия ядерных сил. Для электронов, как отмечалось выше, центр инерции системы электрон ̶атом совпадает практически с центром атома, а угол θ совпадает с углом рассеяния налетающего электрона. Поэтому формула (5.6) преобразуется к виду

dσ		=	Z		(Z		+ 1)r2	m c2		2		1		,	(5.8)
	el			2		2	e		e
											(1	+ 2η − cosθ)	2
dΩ						4			T
									1

где Z2(Z2+1) вместо Z22 учитывает вклад от рассеяния на атомных электронах.

2.2. Неупругое рассеяние заряженных частиц

Неупругие взаимодействия заряженных частиц с атомами среды играют основную роль в процессе передачи энергии от излучения в среду и в замедлении частиц. Особенности неупругого взаимодействия зависят не только от скорости и заряда частиц, но и от их массы.

2.2.1. Неупругое рассеяния заряженных частиц на атомах

Под неупругими процессами рассеяния заряженных частиц понимают обычно процессы взаимодействия частиц с атомными электронами, которые приводят к возбуждению и ионизации ато-

129

ма. Все процессы возбуждения и ионизации являются пороговыми. Для перехода атома из основного в возбужденное состояние, т.е. на один из вышележащих уровней энергии, ему должна быть передана энергия, равная энергии этого уровня. Для ионизации атома необходимо, чтобы энергия, полученная атомом от заряженной частицы, оказалась достаточной для перехода одного из атомных электронов в состояние с непрерывным спектром, т.е. для отрыва его от атома.

Поскольку атом является квантовым объектом, то точное решение задачи о возбуждении и ионизации атома следует проводить методами квантовой механики. Однако из-за сложности задачи на практике чаще применяют приближение Борна и его модификации, тоже тем не менее требующее большого объема вычислений. Поэтому большой интерес вызывают методы, базирующиеся на классической механике и дающие удовлетворительные результаты, например, импульсное (или бинарное) приближение. Подобный приближенный подход к получению сечений ионизации атома заряженной частицей, основанный на квазиклассическом приближении был использован в работе [1].

В этом приближении движение налетающей частицы описывается классическим образом, используя понятие траектории, а для атомных электронов применяется квантовая механика. В частности считается, что энергия передается атому дискретно в количестве, достаточном для перехода (разрешенного) электрона на один из вышележащих (по энергии) уровней в атоме или вылете электрона из атома.

Введем понятие «энергия (или потенциал) ионизация атома» I, равная работе, которую надо затратить, чтобы удалить электрон из атома. Если энергия Q, передаваемая атому, меньше I , то неупругое рассеяние не происходит, а если Q > I, то имеет место ионизация атома. Далее в работе [1] принимается, что можно пренебречь энергией связи электрона с ядром, т.е. он считается свободным, что вполне допустимо для быстрых частиц. В этих условиях можно применить формулу Резерфорда для дифференциального по переданной энергии сечения рассеяния (5.4). При этих допущениях в работе [1] получено следующее выражение для микроскопического сечения ионизации:

130