4

электронов для ряда веществ с учетом и без учета поправки на эффект плотности. Детальные табулированные данные (dT/ρdx)col для электронов приводятся в работах [1, 3, 16, 19].

Рис. 5.12. Зависимость массовой тормозной способности столкновений от энергии электронов для разных веществ с учетом (сплошные кривые) и без учета (пунктирные кривые) поправки на эффект плотности [21]

3.7. Массовая радиационная тормозная способность

По аналогии с потерями энергии на столкновение вводятся потери энергии на единицы длины пути на тормозное излучение (радиационные потери энергии или тормозная радиационная способность):

	dE		T0
			= Eγ Σbr (T0 , Eγ ) dEγ ,	(5.55)
		dx r	0

где в качестве дифференциального по энергии тормозного фотона макроскопического сечения тормозного излучения для электронов можно использовать сечения Бете – Гайтлера, Шиффа или Пратта. Для тяжелых заряженных частиц в рассматриваемой области энергий такие потери крайне малы. Результаты подобных расчетов в борновском приближении приводятся в ряде работ, например в [3].

151

Без учета эффекта экранирования для нерелятивистских энергий в работе [22] получен следующий результаты:

dT

=

16

3, 44 10−4

Z

2

(Z

2

+ 1)

T

МэВ см2

,

(5.57)

3

A

0

г

ρdx r

и для крайне релятивистского случая [22]

dT

= 3,44

10−4

Z

(Z

+ 1)

T

4ln

T

−

4

МэВ см2

,

(5.58)

2

2

0

ρdx r

A

0, 255

3

г

где T0 – начальная кинетическая энергия электрона (как и раньше). Аттикс в работе [3] приводит более универсальное уравнение для расчета массовой радиационной тормозной способности с учетом эффекта экранирования в следующей форме:

dT

S

N

Z

2

МэВ см2

(5.59)

=

= σ

A

2

(T + m c2 )B

,

0

r

A

e

г

ρdx r

ρ r

где σ

=

1

e2

2

= 5,8 10−28 см2 /атом;

– медленно изменя-

B

0

2

137

m c

r

e

ющаяся функция Z2 и T, принимающая значение 16/3 для T <<

<< 0,5 МэВ и примерно 6 для T = 1 МэВ, 12 для 10 МэВ и 15 для 100 МэВ. Произведение Br Z22 является безразмерным.

Из сравнения формул (5.42) и (5.59) видно, что массовая тормозная радиационная способность пропорциональна NAZ22/A, в то время как массовая тормозная способность столкновений пропорциональна NAZ2/A, т.е. плотности электронов. Более детально влияние среды на тормозное излучение рассматривается Беспаловым В.И. в работе [2]. Зависимость (S/ρ)r от энергии пропорциональна (T+mec2) или T при T >> mec2. Соответствующая энергетическая зависимость (S/ρ)c имеет более сложный характер (рис. 5.13). При энергиях T > mec2 массовая тормозная способность столкновений является медленно возрастающей функцией кинетической энергии. Поэтому отношение тормозных способностей (S/ρ)r/(S/ρ)c приближенно пропорционально T при высоких энергиях. При низких энергиях (T << mec2) (S/ρ)r становится практически независимой от T .

Из рис. 5.13 видно, что при некоторой энергии (критическая энергия) потери энергии на столкновении равны радиационным

152

потерям. Значение этой энергии для каждого вещества можно найти по эмпирической формуле

T ≈	800			(МэВ).	(5.60)
кр	Z2	+1

Из формулы (5.60) вытекает, что для свинца Tкр = 10 МэВ, для алюминия 60 МэВ и для воды 100 МэВ.

Рис. 5.13. Зависимость массовых тормозных способностей на столкновения и на излучение от кинетической энергии электронов для углерода, меди и свинца (адаптировано из [3])

Полная массовая тормозная способность (S/ρ)tot равна сумме тормозных способностей на столкновение и на излучение (см. (5.36)). Полные и парциальные массовые тормозные способности рассчитаны для многих веществ и имеются в литературе, например [1, 3, 16, 19]. На рис. 5.14 демонстрируется зависимость полной и радиационной массовых тормозных способностей от кинетической энергии электронов для углерода и свинца.

153

Рис. 5.14. Зависимость полной, столкновений и радиационной массовых тормозных способностей от кинетической энергии электронов для углерода и свинца [2]

Если среда, через которую проходит заряженная частица, является сложной по составу, то значения массовых тормозных способностей приближенно (без учета влияния химических связей на значение I) можно рассчитать по правилу аддитивности Брэгга. Для полных тормозных способностей соответствующая формула имеет вид

dTρdx tot

=Sρ tot

		dT
= wi				,	(5.61)
i		ρdx tot,i
154

где wi – весовая доля i-элемента; (dT/ρdx)tot,i – полная массовая тормозная способность i-элемента.

В некоторых случаях полезной величиной является понятие радиационного выхода Y(T), представляющее полную долю кинетической энергии заряженной частицы, теряемой на испускание электромагнитного излучения. В приближении непрерывного замедления эта величина определяется из следующего уравнения:

	1	T0	(dT / ρdx)rad
Y (T0 ) =							dT ′.	(5.62)
	T		(dT / ρdx)	rad	+ (dT / ρdx)
	0	0				col

где T0 – начальная энергия электрона.

Для тяжелых заряженных частиц Y(T) ≈ 0. Для электронов зависимость радиационного выхода от T показана на рис. 5.15 для углерода и свинца. Понятие Y(T) используется при определении вели-

чины g, представляющей среднее значение Y(T) для всех электро-

нов и позитронов, образующихся при взаимодействии фотонов с веществом. Величина g входит в формулу для расчета поглощенной дозы (см. далее глава 6). Определить величину g в предположении, что фотоны испытывают только комптоновское рассеяние, можно из уравнения

Tmax

g = Y (T ) =

0

Y (T ) dσKN

dT Eγ

		Tmax dσKN
	dT					dT ,	(5.63)
				dT
		0			E
					γ

где (dσKN/dT)Eγ – дифференциальное по энергии электронов поперечное сечение комптоновского рассеяния на электрон; Tmax – максимальная энергия образующихся электронов.

155

0,35
0,30
0,25
0,20		Pb
T)
Y(
0,15
0,10
0,05		Al
0,1	1	10
	T, МэВ

Рис. 5.15. Зависимость радиационного выхода от кинетической энергии электрона для алюминия и свинца в приближении непрерывного замедления [2]

3.8. Ограниченная массовая тормозная способность

Проходя через вещество, заряженные частицы теряют энергию,

восновном, небольшими порциями, однако в некоторых случаях при жестких столкновениях образуются δ-электроны, получающие достаточно энергии, чтобы унести ее часть на довольно далекое расстояние от трека. Такая же ситуация наблюдается при испускании частицей тормозных фотонов. Вместе с тем во многих задачах необходимо определять поглощаемую энергию непосредственно вблизи трека частицы или в тонких слоях вещества (локальное поглощение). Если в таких расчетах использовать массовую тормозную способность, то результаты окажутся завышенными. Поэтому

вдополнение к массовой тормозной способности столкновений вводится понятие ограниченной массовой тормозной способности столкновений (короче, ограниченной тормозной способности), обозначаемой (dT/ρdx) или (S/ρ) .

Ограниченная тормозная способность является частью тормозной способности столкновений, которая включает мягкие столкновения плюс жесткие столкновения, при которых δ-электронам пе-

156

редается энергия, меньшая . Единицей измерения (S/ρ) служит (МэВ·см2/г). Альтернативной и очень важной формой ограниченной тормозной способности является понятие линейной передачи энергии, обозначаемой (L ), единицей измерения которой служит (кэВ/мкм), которая широко используется в радиобиологии и микродозиметрии. Связь между этими величинами следующая:

L (кэВ/мкм) =		ρ		dT		2
						(МэВ см	/г) .	(5.64)
	10			ρdx
Если пороговую энергию			взять равной Qmax (T/2 для электро-

нов, Т для позитронов и (5.39) для тяжелых заряженных частиц), то

	dT			dT		и L	= L∞,	(5.65)
			=
	ρdx			ρdx c

где L∞ – величина, называемая неограниченной линейной переда-

чей энергии и являющаяся важным параметром в дозиметрии. Расчет (dT/ρdx) для тяжелых заряженных частиц можно прово-

дить по формуле (5.45), подставив вместо Qmax значение и включив в нее оболочечную поправку:

dT					2m c2β2
			= k ln		e			− 2β2	−U .	(5.66)
					2	)I	2
	ρdx				(1− β

Для электронов и позитронов расчетная формула приводится в Публикации МКРЕ № 37 [19]:

dT

τ

2

(τ + 2)

±

= k ln

+ G

(τ,η) − δ−U

,

(5.67)

ρdx

2(Ι/m c2 )2

e

где для электронов

G− (τ,η) = −1− β2 + ln 4(1− η)η + (1− η)−1

+

(5.68)

+ (1− β2 ) τ2η2 / 2

+ (2τ + 1) ln(1− η) ;

и для позитронов

	G+ (τ,η) = ln 4η − β2 1+ (2 − ξ2 )η − (3 + ξ2 )(ξτ/2)η2		+
			(5.69)
	+(1+ ξτ)(ξ2 τ2 /3)η2 − (ξ2 τ2 / 4)η4	;
	157

τ = T/mec2; η = /T; G− (τ,1/ 2) = F −1(τ) в уравнении (5.52) и

G+ (τ,1) = F + (τ) в уравнении (5.53).

В Публикации МКРЕ № 37 [19] приводится таблица отношения L /L∞ для значений , равных =1, 10 и 100 кэВ для C, Al, Cu, Ag, Pb, воды и свинца. На рис. 5.16 показана зависимость (dT/ρdx) от отношения /T для углерода.

Рис.5.16. Зависимость массовой ограниченной тормозной способности электронов c с разной кинетической энергией от отношения /T для углерода (адаптировано из [2])

4.Пробеги заряженных частиц

4.1.Общее рассмотрение

Влитературе используется несколько величин, связанных с термином «пробег». На простейшем уровне под понятием «пробег» заряженной частицы, замедляющейся в данном веществе, можно было бы понимать глубину проникновения частицы в вещество до тех пор, пока ее кинетическая энергия не достигнет энергии теплового движения. Однако прохождение заряженных частиц через вещество является стохастическим процессом, в котором частицы испытывают множество рассеяний и потерь энергии, поэтому понятие «пробег» целесообразно связать с ожидаемыми или средними величинами.

158

Следуя Аттиксу [3], определим пробег R заряженной частицы данного типа и данной энергии в конкретном веществе как ожидаемую (среднюю) величину длины пути p, проходимого частицей до ее полной остановки (кинетическая энергия уменьшается до тепловой) (рис. 5.16). В связи со статистическими флуктуациями потерь энергии в одиночных столкновениях пробеги отдельных частиц R (индивидуальные истинные пробеги) могут сильно различаться между собой.

Следует различать пробег частицы и среднюю глубину ее проникновения в вещество t , которая является проекцией пробега на

направление первоначального движения частицы (рис. 5.17). Эту величину в литературе часто называют проекционным пробегом (англ. projected range). Следуя опять Аттиксу [3], определим проекционный пробег t заряженной частицы данного типа и данной энергии в конкретном веществе как ожидаемую величину максимальной глубины проникновения частицы в вещество в направлении своего первоначального движения. Обе величины (R и t ) являются нестохастическими и единицей измерения их обычно является г/см2.

Рис. 5.17. Иллюстрация понятий пробега p ( или R) и проекционного пробега t

Кроме двух рассмотренных понятий в литературе используются еще понятие пробега в приближении непрерывного замедления, обозначаемый RCSDA и «экстраполированный пробег», обозначаемый Rex. Они рассматриваются ниже.

159

4.2. Пробеги в приближении непрерывного замедления

Понятие пробега в приближении непрерывного замедления RCSDA подобно концепции ожидаемой длины пути p, описанной выше, за исключением эффектов многократного рассеяния и в предположении прямолинейной траектории для частицы с начальной кинетической энергией T. Он рассчитывается из уравнения

T0		dT	−1
RCSDA =				dT.	(5.70)
0		ρdx tot

Значения RCSDA табулированы во многих работах, например, в [3,

23]. На рис. 5.18 показана зависимость RCSDA от кинетической энергии для протонов, электронов и позитронов в свинце и углероде.

Рис. 5.18. Зависимость RCSDA от кинетической энергии для электронов и позитронов (пунктирная линия) в свинце и углероде [2]

Отметим, что для практических целей RCSDA может считаться идентичным R. Небольшая разница между ними связана с редкими дискретными потерями энергии крупными порциями. Эта разница не превышает 0,2 % для протонов и несколько больше для электронов, причем в обоих случаях приближение непрерывного замедления недооценивает пробег R. Для расчета RCSDA с погрешностью

160