2. Скалярное произведение псевдоевклидовых пространств

Хорошо известно, что если постулированная над аффинным пространством симметрическая билинейная форма порождает знакопеременную квадратичную форму, задаваемая ими геометрия уже не евклидова, а псевдоевклидова [4]. Системы аксиом обеих этих геометрий можно объединить, сняв требования по знаку квадратичной формы. Такая объединенная система, в частности, может быть представлена в следующем виде:

а) каждым двум векторам А, В линейного пространства ставится в соответствие определенное действительное число, обозначаемое

k=(A,B)

и называемое, как и в евклидовом случае, скалярным произведением этих векторов;

б) скалярное произведение коммутативно по отношению к перестановкам векторов, т.е.

(A,B)=(B,A);

в) скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов, т. е.

(A+С,B)=(A,B)+(С, B);

г) действительный множитель можно вынести за знак скалярного произведения, т. е.

(kA,B)=k(A,B).

Способы определения метрических понятий псевдоевклидовых пространств, являющихся обобщениями соответствующих евклидовых понятий концептуально не меняются, что позволяет сохранить за ними те же названия. Так, к конгруэнтным, по-прежнему, относятся преобразования, оставляющие инвариантной квадратичную форму всех векторов:

(A,A)=(A',A').

Длина вектора определяется, как положительный корень из модуля квадратичной формы:

|A|=|(A,A)|^1/2.

При этом, однако, приходится мириться с появлением так называемых изотропных и мнимых векторов. Первые имеют нулевую длину при ненулевых компонентах, а вторые характеризуются отрицательной величиной квадратичной формы. Угол между двумя векторами, как и в евклидовом случае, принимается равным длине дуги между точками их пересечения с единичной сферой. Однако теперь при вычислении угла необходимо учитывать, в какой из областей по отношению к изотропному конусу располагаются задающие вектора, поскольку сфера перестает быть односвязной поверхностью.

Естественным образом на псевдоевклидовы пространства обобщается и свойство векторов быть перпендикулярными. Для этого необходимо равенство нулю их скалярного произведения. Только в данном случае такие вектора принято называть ортогональными.

Псевдоевклидовы пространства допускают обобщение понятия конформного отображения, которое определяется как преобразование, сохраняющее подобие бесконечно малых фигур. Заметим, что в псевдоевклидовых пространствах, так же как и в евклидовых, выделяется двумерный случай, для которого конформные преобразования качественно разнообразней, чем при больших размерностях. Отметим и ещё одно совпадение – псевдоевклидова плоскость, как и евклидова, имеет алгебраический аналог, носящий название двойных чисел, отличающихся от комплексных тем, что квадрат их мнимой единицы равен не минус, а плюс одному. Такие числа наравне с комплексными допускают понятие аналитических функций, каждой из которых можно поставить во взаимно однозначное соответствие некоторое конформное отображение псевдоевклидовой плоскости [5].

Помимо псевдоевклидова случая в геометрии известны и другие подходы к обобщению понятия скалярного произведения, следствиями которых являются системы аксиом для так называемых унитарных и симплектических пространств. Для первых в билинейной симметрической форме используются не действительные, а комплексные числа, а для вторых - вместо симметрической постулируется антисимметрическая билинейная форма [4,6].

Анализируя рассмотренные выше случаи применения понятия скалярного произведения и его обобщений, можно заметить, что все их роднит связь с той или иной билинейной формой. Однако билинейная форма есть частный случай полилинейной. В связи с этим, интересно понять нельзя ли получить содержательную геометрию, если вместо билинейной постулировать трех, четырех- и так далее, вплоть до полилинейной симметрическую форму.