4. Примеры тетра- и квадралинейных полипространств

Разнообразие полилинейных пространств значительно. Определенные трудности представляет собой даже задача классификации всех неизоморфных друг другу тетралинейных пространств, не говоря уже о пространствах с большей размерностью полиформы. Однако, если ограничиться случаем трехмерных пространств, а среди всевозможных симметрических тернарных полиформ оставить только формы, не зависящие от перестановок компонент векторов (такие формы будем называть сверхсимметрическими), то тогда выявляются 8 классов пространств, с каждым из которых можно связать свою каноничскую фундаментальную тернарную полиформу. Среди всех таких форм особенно простым видом выделяются следующие:

(A,A,A)=a₁³+a₂³+a₃³=F₁;

(A,A,A)=a₁²a₂+a₁²a₃+a₂²a₁+a₂²a₃+a₃²a₁+a₃²a₂=F₂;

(A,A,A)=a₁a₂a₃=F₃.

Назовем их базисными. Любую из неизоморфных сверхсимметрических тернарных полиформ можно представить, как линейную комбинацию этих базисных:

(A,A,A)=ω₁F₁+ω₂F₂+ω₃F₃.

Оказывается, что среди всех таких форм только две связаны с невырожденными коммутативно-ассоциативными алгебрами, а именно:

(A,A,A)=a₁³+a₂³+a₃³-3a₁a₂a₃;

(A,A,A)=a₁a₂a₃.

Первая из них изоморфна прямой сумме комплексной и действительной алгебр, а вторая – прямой сумме трех действительных. Еще раз подчеркнем, что стоящая за этими алгебрами геометрия совсем не евклидова, как это иногда пытаются предположить [7], а специального вида финслерова геометрия, названная выше полилинейной.

Для четырехмерных полипространств базисные формы имеют вид:

(А,А,А,А)=а₁⁴+а₂⁴+а₃⁴+а₄⁴;

(А,А,А,А)=а₁³(а₂+а₃+а₄)+а₂³(а₁+а₃+а₄)+а₃³(а₁+а₂+а₄)+а₄³(а₁+а₂+а₃);

(А,А,А,А)=а₁²а₂²+а₁²а₃²+а₁²а₄²+а₂²а₃²+а₂²а₄²+а₃²а₄²; (A,А,А,А)=а₁²(а₂а₃+а₂а₄+а₃а₄)+а₂²(а₁а₃+а₁а₄+а₃а₄)+а₃²(а₁а₂+а₁а₄+а₂а₄)+а₄²(а₁а₂+а₁а+а₂а₃);

(А,А,А,А)=а₁а₂а₃а₄,

каждая из которых задает геометрию своего, не изоморфного остальным, полилинейного пространства. Однако, данными примерами разнообразие четырехмерных полипространств далеко не исчерпывается. При этом полная классификация соответствующих пространств весьма не тривиальная задача, решение которой может потребовать значительных усилий.

Ограничиваясь пространствами, связанными с коммутативно-ассоциативными алгебрами, следует выделить два типа, фундаментальные метрические полиформы которых в одном из удобных базисов имеют вид:

(А,А,А,А)=а₁⁴+а₂⁴+а₃⁴+а₄⁴ +(а₁²а₂²+а₁²а₃²- а₁²а₄²- а₂²а₃²+а₂²а₄²+а₃²а₄²) -8а₁а₂а₃а₄; (5)

(А,А,А,А)=а₁⁴+а₂⁴+а₃⁴+а₄⁴ - (а₁²а₂²+а₁²а₃²+а₁²а₄²+а₂²а₃²+а₂²а₄²+а₃²а₄²) +8а₁а₂а₃а₄. (6)

Таблицы умножения сопоставляемых этим полипространствам гиперкомплексных чисел имеют соответственно вид:

	1	i	j	K
1	1	i	j	K
i	i	-1	K	-j
j	j	K	-1	-i
K	K	-j	-i	1

и

	1	I	J	K
1	1	I	J	K
I	I	1	K	J
J	J	K	1	I
K	K	J	I	1

Если от базисов, в которых записаны данные таблицы, перейти к более удобным - состоящим из изотропных векторов [7], приведенные выше фундаментальные метрические формы (5,6) примут максимально компактный вид:

(А,А,А,А)=(а^'₁²+а^'₂²)(а^'₃²+а^'₄²); (7)

(А,А,А,А)=а^'₁а^'₂а^'₃а^'₄. (8)

Связанные с формами (5,7) гиперкомплексные числа иногда называются бикомплексными, так как их алгебра представляет собой прямую сумму двух комплексных алгебр. Обширные исследования особенностей таких чисел можно найти в целом ряде работ [7-9]. Правда, авторы, как правило, пытаются сопоставлять эти числа с геометрией евклидова или псевдоевклидова пространства, что, конечно же, не оправданно. Некоторые закономерности второй алгебры, связанной с формами (6,8), можно найти в работах [7,10]. Поскольку данная алгебра является прямой суммой четырех действительных, а в основе её таблицы умножения лежат четыре единицы гиперболического типа 1, I, J, K, условимся такую гиперкомплексную систему, как и в [10], именовать алгеброй квадрагиперболических чисел.

Не смотря на, казалось бы, простую структуру бикомплексных и квадрагиперболических чисел, в свете рассмотренной выше аксиоматики полискалярного произведения, возникает довольно интересная геометрия стоящих за ними пространств. Особый интерес в этом плане представляет квадрагиперболическое пространство.