- •Министерство образования и науки российской федерации
- •И.М. Астрахан
- •Предисловие
- •Глава I Реологические уравнения ньютоновской и неньютоновских вязких несжимаемых жидкостей
- •§1. Реология – учение о течении сплошных сред
- •§2. Классификация неньютоновских жидкостей
- •§3. Неньютоновские вязкие жидкости
- •§4. Жидкости, реологические характеристики которых зависят от времени
- •§5. Вязкоупругие жидкости
- •Глава II Дифференциальные уравнения движения вязких несжимаемых жидкостей
- •§1. Уравнения движения в напряжениях
- •§2. Уравнения движения вязкой ньютоновской несжимаемой жидкости (Уравнения Навье – Стокса)
- •Глава III Точные решения уравнений движения вязких (ньютоновских и неньютоновских) жидкостей
- •§1. Ламинарное прямолинейное установившееся движение вязких жидкостей в круглых трубах
- •§2. Коэффициент гидравлического сопротивления при течении в трубах
- •§3. Вращательное движение жидкости в кольцевом зазоре
- •§4. Вискозиметрические методы определения реологических параметров жидкостей
- •§5. Пульсирующее ламинарное движение вязкой ньютоновской жидкости в круглой цилиндрической трубе
- •Глава IV Движение вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса
- •§1. Уравнения движения ньютоновской жидкости при малых числах Рейнольдса
- •§2. Пространственное движение ньютоновской несжимаемой жидкости между двумя безграничными параллельными плоскостями. Закон Дарси
- •§3. Обтекание шара потоком жидкости
- •§4. Гидродинамическая теория смазки
- •§5. Нестационарное пульсирующее движение неньютоновских степенных жидкостей в трубах
- •Глава V Движение вязких жидкостей при больших числах Рейнольдса
- •§1. Понятие о пограничном слое. Уравнения ламинарного пограничного слоя в ньютоновской жидкости.
- •§2. Пограничный слой при обтекании несжимаемой жидкостью плоской пластинки. Задача Блязиуса
- •В этом случае уравнения (5.8) и (5.3) приобретают вид
- •Решение задачи Блязиуса в общем случае из уравнения неразрывности
- •Полагая
- •§3. Отрыв пограничного слоя
- •О переходе ламинарного пограничного слоя в турбулентный
- •§4. Приближенные методы расчета ламинарного пограничного слоя. Интегральное соотношение Кармана
- •§5. Задача о плоской ламинарной затопленной струе
- •§6. Пограничный слой в вязкопластичных жидкостях
- •Глава VI Неустойчивость ламинарных режимов течений и возникновение турбулентности в ньютоновских и вязких неньютоновских жидкостях
- •§1. Исследования устойчивости ламинарных течений
- •§2. Устойчивость вращательного течения ньютоновских и вязкопластичных жидкостей между двумя цилиндрами
- •Литература
- •Оглавление
§4. Гидродинамическая теория смазки
Технически важным примером течения с преобладающей ролью вязкости может служить течение в тонком смазочном слое при относительном движении двух твердых тел, разделенных этим слоем.
Закономерности движения такого тонкого вязкого слоя составляют содержание гидродинамической теории смазки, основы которой были заложены трудами О. Рейнольдса, Н.П. Петрова, Н.Е. Жуковского, С.А. Чаплыгина.
Такое течение обладает замечательным свойством: разности давлений в нем могут достигать очень больших значений, вследствие чего тонкий слой масла, находящийся, например, между валом и подшипником, поддерживает вал, предохраняя его от непосредственного соприкосновения с подшипником. Наиболее существенные особенности течения масла в смазочном слое можно выяснить на примере ползуна и плоской опорной поверхности, образующих друг с другом малый угол (рис.4.1.). Решение этой задачи было выполнено О. Рейнольдсом [3], [5].
Рассмотрим плоский случай зададим (рис.4.1.) отрезком CD опорную плоскость ползуна, а отрезок ОВ расположим плоскости, вдоль которой ползун движется (отрезок ОВ равен проекции CD на эту плоскость). Угол между CD и ОВ считается малым, так же как и среднее расстояние между этими плоскостями в интервале ОВ.
П
Рис. 4.1.
Обозначим через и соответственно высоты выходного и входного сечений щели, h — текущую ординату отрезка CD, а —проекцию CD на ось Ох, направленную вдоль ОВ, как это показано на рисунке. Уравнение отрезка CD зададим формулой
(4.20)
где k — постоянный коэффициент, равный
(4.21)
Заметим, что (штрих означает производную по х)
(4.22)
При составлении уравнений движения вязкой жидкости, увлекаемой в клинообразную щель движущимся отрезком ОВ, примем во внимание тонкость щели и непроницаемость стенок, ограничивающих щель. Это позволит считать поперечную скорость Vy пренебрежимо малой по сравнению с Vх, а производную значительно большей, чем . Пренебрегая, кроме того, конвективными членами, приведем систему уравнений Навье – Стокса к виду
(4.23)
Граничные условия будут:
при
при (4.24)
при и
причем последнее условие соответствует выравниванию давления вне вязкого клина.
Интегрируя обе части первого уравнения системы (4.23) по у и принимая во внимание граничные условия (4.24), получим
(4.25)
Условие одинаковости расхода жидкости сквозь любое сечение потока дает
или, после подстановки Vx из (4.25) и интегрирования,
Судя по последнему граничному условию системы (4.24), в промежуточной точке с абсциссой хт в интервале 0 < хт <a должно выполняться условие dp/dx = 0. Вводя обозначение h = hm при х = хт, из предыдущего равенства найдем
Исключая константу, из последних двух уравнений получим
откуда следует
(4.26)
Вычислив в точке х=хт производную убедимся в том, что в силу условия (4.22) она имеет отрицательное значение. Отсюда следует, что в точке х=хт давление максимально.
Перейдем от аргумента х к h, используя для этого основное геометрическое соотношение (4.20), согласно которому
Перепишем после этого равенство (4.26) в форме
(4.27)
и проинтегрируем его по h, будем иметь
(4.28)
Используя граничные условия (4.24) и равенство (4.20), найдем постоянные интегрирования hm и b:
(4.29)
Подставляя эти значения постоянных в (4.28) и возвращаясь к переменной х, получим следующее окончательное выражение для р(х):
(4.30)
причем абсцисса хт, как это непосредственно следует из (4.20) и первого равенства системы (4.29), будет равна
(4.31)
Решим теперь основной вопрос о величине направленной вдоль Oy силы R, поддерживающей ползун. Имеем по (4.30) (над CD давление равно po)
(4.32)
Обратим внимание на то, что сила R, поддерживающая ползун, обратно пропорциональна квадрату малой величины ho. Поэтому при возрастании нагрузки, прижимающей верхнюю пластинку к нижней, и прочих постоянных параметрах уменьшается зазор ho и возрастает сила R до значения, уравновешивающего нагрузку. Таким образом, смазочный слой не выдавливается и может выдерживать весьма значительные нагрузки. Необходимо подчеркнуть, что основную роль в этом явлении играет наклонное положение обеих стенок друг относительно друга, то есть эффект «вязкого клина».
Сила R достигает своего максимума при то есть при , и равна при этом
(4.33)
Для определения сопротивления F движению ползуна найдем сначала напряжение трения τ на его опорной поверхности или, что все равно, в силу малости угла раствора клинообразной щели, на отрезке ОВ
откуда, согласно (4.25)
и, после подстановки значения dp/dx по (4.26) и h по (4.20)
(4.34)
Интегрируя по x от x = 0 до х=а, определим полную силу сопротивления движению ползуна
(4.35)
При k=1,2, соответствующем максимальной поддерживающей силе, будет
(4.36)
Коэффициент трения, условно определяемый отношением величины сопротивления к величине поддерживающей силы, как видно из формул (4.35) и (4.32), пропорционален ho /a, т. е. очень мал.
Проиллюстрируем основной факт достижения больших поддерживающих сил ползуна за счет малости зазора между опорной поверхностью ползуна и плоскостью его скольжения. При оптимальном значении отношения рассмотрим случай квадратного в плане ползуна, а = 0,1 м, ho=10-4 м, U = 1 м/с, µ = 0,706·10-1 Н·с/м2.
Расчет по формуле (4.33) показывает, что в этих условиях Rmax достигает значения 1130 Н. Это делает понятным существование больших поддерживающих сил в обильно смазанных подшипниках скольжения и указывает на главную причину образования таких сил – эффект «вязкого клина».
Найдем абсциссу хR точки приложения равнодействующей R распределенных по отрезку CD элементарных поддерживающих сил. С этой целью составим момент равнодействующей Lc как интеграл (малость раствора «клина» позволяет принять косинус этого угла равным единице)
(4.37)
после чего абсцисса xR определится как , то есть согласно (4.32) и (4.37), будет равна
(4.38)
При k = 1,2 будет xR≈0,42а, то есть точка приложения поддерживающей силы R находится не посередине несущей поверхности (отрезка CD), а несколько ближе к точке С, что объясняется значительным сдвигом точки максимума давления () к левому краю ползуна.