§6. Пограничный слой в вязкопластичных жидкостях

Уравнения пограничного слоя в вязкопластичной жидкости

Можно ввести понятие пограничного слоя в вязкопластичных жидкостях при движении с большими числами Рейнольдса как тонкого слоя в котором происходит течение среды. Вне пограничного слоя среда находится в упругом состоянии.

Уравнения движения вязкопластичных жидкостей образуют сложную нелинейную систему, решение которой значительно сложнее, чем уравнений Навье-Стокса.

Основное уравнение движения несжимаемой вязкопластичной жидкости в векторно-тензорной форме имеет вид [7]:

, (5.79)

где А – интенсивность скоростей деформации сдвига (2.2), Ф – тензор скоростей деформации.

Введем безразмерные переменные

, , , , ,

здесь - характерная длина, - характерная скорость.

Уравнение (5.1) записанное в безразмерной форме примет вид:

(5.80)

здесь , , ₁ – тензор скоростей деформации, А₁ – интенсивность скоростей деформации сдвига, записанные в безразмерной форме.

Уравнения пограничного слоя выведенные из уравнений движения, будучи гораздо проще последних, позволяют достаточно точно решить ряд задач. Полученные решения могут быть использованы при экспериментальном определении реологических параметров вязкопластичных жидкостей.

В случае, когда Re" << 1 уравнения пограничного слоя в вязкопластичной жидкости для плоского движения получены Олдройдтом [7]. Им рассмотрен случай, когда число Рейнольдса Re мало и в уравнениях движения инерционными членами пренебрегают. Такая область медленного течения названа Олдрайдом «пластическим пограничным слоем».

Уравнения пограничного слоя далее выводятся из уравнений (5.80) при Re → ∞. При этом возможны следующие варианты:

1) Re" << , ~ 1

2) Re" ~

3) Re" >>.

Во втором и третьем вариантах в случае плоского движения уравнения пограничного слоя совпадают с уравнениями пограничного слоя для ньютоновской жидкости.

Наибольший интерес представляет первый вариант (Re" << , Re" ~ 1). В этом случае уравнения пограничного слоя при обтекании плоского криволинейного контура можно получить из уравнения (5.80). В проекциях на оси криволинейной ортогональной системы координат уравнения пограничного слоя при u₁  0 имеют вид [17]:

(5.81)

, (5.82)

здесь R - главный радиус кривизны поверхности, u₁, ₁, w₁ – проекции скорости на оси , , .

Уравнение неразрывности:

. (5.83)

Граничные условия для полученных уравнений движения вязкопластичной жидкости в пограничном слое (5.81 – 5.83) имеют вид:

1) на поверхности обтекаемого тела;

2) непрерывность скорости на внешней границе пограничного слоя;

3) на внешней границе пограничного слоя выполняется условие текучести Генки-Мизеса: интенсивность касательных напряжений сдвига равна . Это условие равносильно требованию исчезновения тензора скоростей деформации на границе.

Круговое вращательное движение вязкопластичной жидкости в пограничном слое на круглом цилиндре

Задача об установившемся вращении цилиндра в вязкопластичной жидкости имеет точное решение. Из этого решения, зная скорость вращения цилиндра и момент сил трения, действующих на цилиндр, можно определить структурную вязкость и предельное напряжение сдвига . Но для определения радиуса жидкости, приведенной во вращение, через который определяются и получается сложное трансцендентное уравнение. Если толщина слоя, вовлеченного в движение, мала по сравнению с радиусом цилиндра, то можно воспользоваться уравнениями пограничного слоя, тогда связь между моментом сил трения, скоростью вращения цилиндра, и будет иметь простой вид.

Направим ось по нормали к поверхности цилиндра; - по окружности цилиндра. Уравнения пограничного слоя (5.81) – (5.83), учитывая, что и , запишутся в виде:

(5.84)

.

Уравнения (5.83) при R=1, записанные в размерных переменных:

(5.85)

. (5.86)

Здесь - радиус цилиндра, ось y направлена по нормали к поверхности цилиндра, - окружная скорость, y меняется от нуля на поверхности цилиндра до ( - толщина пограничного слоя). Граничными условиями будут:

, , . (5.87)

Интегрируем уравнение (5.85), используя граничные условия (5.87), получим

(5.88)

, (5.89)

где

. (5.90)

Из (5.86) видно, что мало и им можно пренебречь.

Напряжение трения на поверхности цилиндра:

.

Момент сил трения, действующих на цилиндр,

(5.91)

( – длина образующей цилиндра)

или

, (5.92)

где

, .

Если на вискозиметре с вращающемся внутренним цилиндром сделать малым, то по уравнению (5.91), зная M и , легко найти реологические параметры вязкопластичной жидкости и .

Для иллюстрации полученного решения рассмотрим численный пример. Пусть цилиндр радиуса и длины вращается в глинистом растворе с некоторой постоянной скоростью. Какова должна быть эта скорость, чтобы можно было пользоваться полученным решением (5.92), то есть чтобы было мало? Какие при этом возникают моменты сил трения, действующих на поверхность цилиндра?

Пусть , , .

По (5.89) . Чтобы это соотношение было достаточно малым, S должно быть больше 100. Положим S=400, тогда и из (5.92)

.

Значит

,

Аналогичные вычисления, проведенные для нескольких глинистых растворов, представлены в таблице.

0 (Н/м^2)	 (кг/мс)	 (кг/м^3)	S	M (Нм)	n (об/мин)
4	0.005	1200	900	0.0072	9
10	0.023	1600	400	0.0186	10
17	0.007	1100	900	0.0305	27
17	0.024	1600	400	0.0317	17
113	0.022	1200	400	0.2107	57

Вращение конуса в вязкопластичной жидкости

Уравнения пограничного слоя при вращении конуса в вязкопластичной жидкости с постоянной угловой скоростью можно получить из уравнений (5.81-5.83). Ось η направим по образующей конуса, ξ – по параллели, ζ – по нормали к поверхности конуса (рис.5.5). Угол у вершины конуса равен 2α, радиус кривизны поверхности R= ηsinα; считаем, что υ₁=w₁=0. Из уравнения неразрывности следует, что ∂u₁/∂ξ=0.

Рис. 5.5

Считаем, что изменением давления по нормали к поверхности конуса можно пренебречь, и давление внутри пограничного слоя такое же как и на его внешней границе, т.е. р₁= const и ∂р₁/∂ξ=0. Тогда уравнения пограничного слоя в безразмерном виде примут вид:

(5.93)

Из уравнения (5.93) имеем:

(5.94)

Граничные условия:

(5.95)

где * - безразмерная толщина пограничного слоя.

Из (5.94) получим:

.

Используя граничные условия (5.95) найдем, что

.

Окончательно:

(5.96)

(5.97)

Следовательно, границей пограничного слоя является коническая поверхность.

Мы получим, что в каждом плоском сечении радиуса ( - характерный размер) движение при вращении конуса происходит так же как и при вращении круглого цилиндра радиуса в вязкопластичной жидкости. Это можно видеть, если сравнить выражения (5.96), (5.97) с выражениями (5.88), (5.89).

Напряжение трения на поверхности конуса будет равно:

,

где , - характерная скорость.

Момент сил трения, действующих на поверхность конуса, определяется выражением:

. (5.98)

Из полученного решения (5.98) с помощью конического ротационного вискозиметра можно определять реологические параметры вязкопластичной жидкости и .