- •Министерство образования и науки российской федерации
- •И.М. Астрахан
- •Предисловие
- •Глава I Реологические уравнения ньютоновской и неньютоновских вязких несжимаемых жидкостей
- •§1. Реология – учение о течении сплошных сред
- •§2. Классификация неньютоновских жидкостей
- •§3. Неньютоновские вязкие жидкости
- •§4. Жидкости, реологические характеристики которых зависят от времени
- •§5. Вязкоупругие жидкости
- •Глава II Дифференциальные уравнения движения вязких несжимаемых жидкостей
- •§1. Уравнения движения в напряжениях
- •§2. Уравнения движения вязкой ньютоновской несжимаемой жидкости (Уравнения Навье – Стокса)
- •Глава III Точные решения уравнений движения вязких (ньютоновских и неньютоновских) жидкостей
- •§1. Ламинарное прямолинейное установившееся движение вязких жидкостей в круглых трубах
- •§2. Коэффициент гидравлического сопротивления при течении в трубах
- •§3. Вращательное движение жидкости в кольцевом зазоре
- •§4. Вискозиметрические методы определения реологических параметров жидкостей
- •§5. Пульсирующее ламинарное движение вязкой ньютоновской жидкости в круглой цилиндрической трубе
- •Глава IV Движение вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса
- •§1. Уравнения движения ньютоновской жидкости при малых числах Рейнольдса
- •§2. Пространственное движение ньютоновской несжимаемой жидкости между двумя безграничными параллельными плоскостями. Закон Дарси
- •§3. Обтекание шара потоком жидкости
- •§4. Гидродинамическая теория смазки
- •§5. Нестационарное пульсирующее движение неньютоновских степенных жидкостей в трубах
- •Глава V Движение вязких жидкостей при больших числах Рейнольдса
- •§1. Понятие о пограничном слое. Уравнения ламинарного пограничного слоя в ньютоновской жидкости.
- •§2. Пограничный слой при обтекании несжимаемой жидкостью плоской пластинки. Задача Блязиуса
- •В этом случае уравнения (5.8) и (5.3) приобретают вид
- •Решение задачи Блязиуса в общем случае из уравнения неразрывности
- •Полагая
- •§3. Отрыв пограничного слоя
- •О переходе ламинарного пограничного слоя в турбулентный
- •§4. Приближенные методы расчета ламинарного пограничного слоя. Интегральное соотношение Кармана
- •§5. Задача о плоской ламинарной затопленной струе
- •§6. Пограничный слой в вязкопластичных жидкостях
- •Глава VI Неустойчивость ламинарных режимов течений и возникновение турбулентности в ньютоновских и вязких неньютоновских жидкостях
- •§1. Исследования устойчивости ламинарных течений
- •§2. Устойчивость вращательного течения ньютоновских и вязкопластичных жидкостей между двумя цилиндрами
- •Литература
- •Оглавление
§2. Пограничный слой при обтекании несжимаемой жидкостью плоской пластинки. Задача Блязиуса
Дадим теперь полное решение задачи об установившемся пограничном слое на абсолютно гладкой тонкой неподвижной пластинке – полуплоскости (см. рис. 5.1) , когда скорость набегающего потока постоянна и направлена по оси x (по пластинке).
В этом случае уравнения (5.8) и (5.3) приобретают вид
,
(5.12)
,
так как движение установившееся, а внешний поток представляет собой поступательное движение с постоянным давлением .
На пластинке имеем условие прилипания
при
, , (5.13)
на внешней границе пограничного слоя
при
. (5.14)
Так как в рассматриваемой задаче нет характерного линейного размера, то система размерных и безразмерных определяющих параметров имеет вид
,,, и , . (5.15)
Поэтому искомые функции и можно представить через безразмерные функции и вида:
, . (5.16)
Если теперь в уравнениях (5.12) и в граничных условиях (5.13) и (5.14) совершить замену переменных:
, , , , (5.17)
то получим
,
(5.18)
при , ,
при .
Уравнения и граничные условия для функций и не содержат параметра , поэтому решение системы (5.18) не должно зависеть от . Из (5.16) получим:
,
(5.19)
,
так как аргумент содержит параметр , от которого решение не зависит.
Из формул (5.19) вытекает, что уравнения с частными производными (5.18) приводятся в данной задаче к обыкновенным уравнениям с одной независимой переменной
. (5.20)
Решение задачи Блязиуса в общем случае из уравнения неразрывности
следует, что для плоскопараллельных движений несжимаемой жидкости существует функция тока такая, что
и .
Полагая
,
найдём
.
Таким образом, на основании уравнения неразрывности получим, что компоненты и выражаются через функцию в виде
,
. (5.21)
Подставляя (5.21) в уравнение движения, после простых преобразований получим
. (5.22)
Для получения решения этого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка необходимо найти функцию в интервале , удовлетворяющую уравнениям (5.22) и на концах интервала следующим граничным условиям, вытекающим из (5.18):
и . (5.23)
Для определения функции требуется решить краевую задачу. Эту краевую задачу легко свести к задаче Коши с данными на одном конце, если воспользоваться следующим общим свойством решений уравнения (5.22).
Пусть - некоторое решение уравнения (5.22); непосредственной проверкой легко убедиться, что функция
(5.24)
также является решением уравнения (5.22) при любом постоянном .
Определим теперь функцию как решение следующей задачи Коши для уравнения (5.22):
, . (5.25)
С помощью уравнения (5.22) и данных Коши (5.25) функцию нетрудно рассчитать известными численными методами для любых . По данным расчёта можно определить предел
, причём . (5.26)
Определим теперь в формуле (5.24) постоянную таким образом, чтобы удовлетворялось условие (5.23) при . Имеем:
,
и
, .
Отсюда следует, что
.
Очевидно, что для получения искомого решения для функции с помощью формулы (5.24) достаточно положить или на основании (5.26)
.
Следовательно, полное решение представляется формулами (5.21) и (5.24) при , определённой из численного решения задачи Коши (5.25).
Сопротивление трения
Вычислим теперь касательную составляющую напряжения вязкого трения на поверхности пластинки. Имеем
. (5.27)
Напряжение трения зависит от координаты x и падает с ростом x.
Полное сопротивление одной стороны прямоугольного участка пластинки шириной b и длины по потоку L представится формулой
.
Отсюда для коэффициента трения получим
(5.28)
где .
Таким образом, в этом случае полное сопротивление пропорционально скорости обтекания U0 в степени , а коэффициент трения обратно пропорционален корню квадратному из числа Рейнольдса.
Напомним, что сила сопротивления движению тел с постоянной поступательной скоростью в вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса пропорциональна первой степени скорости.
Толщина пограничного слоя; толщина вытеснения
Согласно (5.21) распределение продольной компоненты скорости в пограничном слое определяется формулой
и представляется кривой, вид которой изображен на рис. 5.1. Если толщину пограничного слоя определить, например, из условия ,т.е.
,
то величину δ можно вычислить из уравнения
. (5.29)
Из расчета функции и из (5.29) следует, что
. (5.30)
При большой скорости U0, малой вязкости и умеренных значениях координаты х толщина пограничного слоя δ получается весьма малой.
При и больших вдали от пластинки за счет торможения жидкости в пограничном слое линии тока смещаются на величину δ* (рис. 5.2), определяемую формулой
. (5.31)
Отсюда
.
Аналогичным образом толщину пограничного слоя δ и толщину вытеснения δ* можно определить при решении других задач об обтекании профилей с заданным переменным распределением давлений на внешней границе пограничного слоя.
Рис .5.2.