§4. Приближенные методы расчета ламинарного пограничного слоя. Интегральное соотношение Кармана

Для детального изучения движения жидкости исходят из дифференциальных уравнений движения рассматриваемой среды. Но если хотят рассмотреть движение только в общих чертах, то исходят из общих законов сохранения механики. Карман для получения интегрального соотношения, используемого для приближенного решения ряда задач пограничного слоя, использовал закон сохранения количества движения [4].

Мы для ясности будем исходить из основных уравнений пограничного слоя (5.8). Проинтегрируем обе части первого из уравнений (5.8) по y в пределах от 0 до δ:

(5.34)

Рассмотрим по отдельности все члены в уравнении (5.34). По правилу дифференцирования интегралов с переменными пределами:

следовательно

(5.35)

Далее:

(5.36)

Заметим, что

(5.37)

значит

(5.38)

Вычислим интеграл

(5.39)

Из уравнения неразрывности:

(5.40)

Заметим, что

(5.41)

поэтому

(5.42)

и значит

(5.43)

Собирая все полученные результаты, получим, что

.(5.44)

Вычислим теперь интеграл в правой части уравнения (5.34). Так как р не зависит от y имеем:

Далее

поэтому правая часть уравнения (5.34) запишется в виде:

(5.45)

Равенство (5.45) справедливо при любом значении δ, примем, что δ толщина пограничного слоя, тогда u(x, δ, t) = U(x, t), (/)_y=δ=0. Окончательно получим интегральное соотношение Кармана:

(5.46)

При установившемся движении жидкости (5.46) имеем вид:

(5.47)

Применение интегрального соотношения Кармана для решения задачи Блязиуса

Рассмотрим решение задачи Блязиуса о пограничном слое в несжимаемой жидкости вдоль плоской пластинки приближенным методом, используя интегральное соотношение Кармана [4]. Так как мы имеем дело с установившимся движением, в котором

то уравнение (5.47) напишется так:

(5.48)

Если бы нам было известно, что распределение скорости внутри пограничного слоя определяется формулой

,

где

то мы имели бы

где для краткости введено обозначение

(5.49)

Далее,

(5.50)

поэтому уравнение (5.48) принимает вид:

откуда

Интегрируя это уравнение и считая, что δ = 0 при х = 0, получим:

(5.51)

Так как вследствие формул (5.50) и (5.51):

то для сопротивления, испытываемого с одной стороны пластинкой ширины b и длины L, мы получим формулу

, (5.52)

для коэффициента трения имеем:

(5.53)

Наконец, для определения величины δ^* мы имеем, согласно формуле (5.31):

(5.54)

Основная идея метода Кармана состоит в том, что вместо того чтобы отыскивать точный вид функции f(η), можно задать вид этой функции. Если мы правильно схватим общий характер распределения скоростей в пограничном слое, то получим хорошее приближение как для зависимости δ от х, так и для численной величины коэффициента сопротивления.

Отсюда видны и положительные и отрицательные стороны метода Кармана. Этот метод хорош тем, что он требует гораздо меньших вычислений по сравнению с точными методами интегрирования дифференциальных уравнений теории пограничного слоя. Плохая же сторона метода Кармана состоит в том, что он применим только к тем случаям, когда мы имеем плавное распределение скорости в пограничном слое, так как только в этих случаях мы можем ожидать, что задаваемая с довольно большим произволом функция f(η) отразит общий характер течения в пограничном слое. Поэтому, в сущности говоря, мы должны довольно много знать о характере течения в пограничном слое, чтобы иметь возможность применять метод Кармана.

В нашей задаче мы имеем дело с очень плавным распределением скоростей, и поэтому мы должны ожидать, что метод Кармана даст хорошие результаты. В самом деле, примем, например, что

(5.55)

это обеспечивает нам при y = 0 u = 0, а при y = δ u = U₀, как и должно быть. Мы будем тогда иметь:

поэтому формула (5.51) дает:

(5.56)

а по формулам (5.52) и (5.53)

(5.57)

Наконец для δ^* имеем формулу:

(5.58)

Возьмем теперь распределение скоростей по параболе третьей степени

причем выберем следующие граничные условия:

u = 0, при y = 0; u = U₀, при y = δ, (5.59)

последнее из которых выражает, что на внешней границе пограничного слоя не только u, но и плавно переходят в соответствующие значения внешнего потенциального течения. Второе из взятых нами пограничных условий сразу вытекает из уравнения (5.59), если заметить, что при y = 0 как u_х, так и υ должны обращаться в нуль. Простое вычисление показывает, что надо взять

(5.60)

и далее

следовательно,

(5.61)

Мы видим, что величина * во всех случаях получается очень близкой к той, которую дает точное решение; ошибка в определении с_f доходит до 15%, хотя в случае, когда за f() выбирают полином третьей степени эта ошибка не превышает 3%.