- •Министерство образования и науки российской федерации
- •И.М. Астрахан
- •Предисловие
- •Глава I Реологические уравнения ньютоновской и неньютоновских вязких несжимаемых жидкостей
- •§1. Реология – учение о течении сплошных сред
- •§2. Классификация неньютоновских жидкостей
- •§3. Неньютоновские вязкие жидкости
- •§4. Жидкости, реологические характеристики которых зависят от времени
- •§5. Вязкоупругие жидкости
- •Глава II Дифференциальные уравнения движения вязких несжимаемых жидкостей
- •§1. Уравнения движения в напряжениях
- •§2. Уравнения движения вязкой ньютоновской несжимаемой жидкости (Уравнения Навье – Стокса)
- •Глава III Точные решения уравнений движения вязких (ньютоновских и неньютоновских) жидкостей
- •§1. Ламинарное прямолинейное установившееся движение вязких жидкостей в круглых трубах
- •§2. Коэффициент гидравлического сопротивления при течении в трубах
- •§3. Вращательное движение жидкости в кольцевом зазоре
- •§4. Вискозиметрические методы определения реологических параметров жидкостей
- •§5. Пульсирующее ламинарное движение вязкой ньютоновской жидкости в круглой цилиндрической трубе
- •Глава IV Движение вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса
- •§1. Уравнения движения ньютоновской жидкости при малых числах Рейнольдса
- •§2. Пространственное движение ньютоновской несжимаемой жидкости между двумя безграничными параллельными плоскостями. Закон Дарси
- •§3. Обтекание шара потоком жидкости
- •§4. Гидродинамическая теория смазки
- •§5. Нестационарное пульсирующее движение неньютоновских степенных жидкостей в трубах
- •Глава V Движение вязких жидкостей при больших числах Рейнольдса
- •§1. Понятие о пограничном слое. Уравнения ламинарного пограничного слоя в ньютоновской жидкости.
- •§2. Пограничный слой при обтекании несжимаемой жидкостью плоской пластинки. Задача Блязиуса
- •В этом случае уравнения (5.8) и (5.3) приобретают вид
- •Решение задачи Блязиуса в общем случае из уравнения неразрывности
- •Полагая
- •§3. Отрыв пограничного слоя
- •О переходе ламинарного пограничного слоя в турбулентный
- •§4. Приближенные методы расчета ламинарного пограничного слоя. Интегральное соотношение Кармана
- •§5. Задача о плоской ламинарной затопленной струе
- •§6. Пограничный слой в вязкопластичных жидкостях
- •Глава VI Неустойчивость ламинарных режимов течений и возникновение турбулентности в ньютоновских и вязких неньютоновских жидкостях
- •§1. Исследования устойчивости ламинарных течений
- •§2. Устойчивость вращательного течения ньютоновских и вязкопластичных жидкостей между двумя цилиндрами
- •Литература
- •Оглавление
§2. Коэффициент гидравлического сопротивления при течении в трубах
Для определения коэффициента гидравлического сопротивления при течении неньютоновских вязких жидкостей в трубах воспользуемся соображениями теории размерностей.
Рассмотрим жидкость с реологическим уравнением
,
где - реологические параметры.
Можно утверждать, что перепад давления зависит от следующих определяющих параметров: длины , диаметра , плотности , средней скорости в сечении трубы и реологических параметров жидкости [9].
Таким образом
(3.27)
Приняв величины в качестве параметров с независимыми размерностями и учитывая, что возрастает линейно при увеличении , из формулы (3.27) получим
где
(3.28)
причем величины
представляют собой критерии подобия.
Из формул (3.27) и (3.28) следует, что число критериев подобия равно числу реологических параметров жидкости.
Рассмотрим в качестве примера вязкопластичную жидкость (жидкость Бингама – Шведова). В этом случае формула (3.27) принимает вид
,
а выражение (3.28)
, (3.29)
где
Для получения аналитического вида зависимости (3.29) для ламинарного течения рассмотрим формулу (3.21). Её можно представить в виде
(3.40)
или
(3.41)
Положим
(3.42)
и подставим это выражение в формулу (3.41). Тогда после элементарных преобразований имеем [9]
(3.43)
где
(3.44)
Используя стандартную методику решения уравнений четвертой степени, получим, что корни уравнения (3.43) равны
(3.45)
(3.46)
где
(3.47)
Рассмотрим подкоренное выражение в формуле (3.46). Так как в соответствии со вторым равенством (3.47)
(3.48)
то после элементарных преобразований имеем
Поскольку в соответствии с формулой (3.44) а > 1, то из равенства (3.47) следует, что в и с величины вещественные, причем в > 0, с > а. Таким образом
и корни - комплексные.
Перейдем к рассмотрению корней . Непосредственной проверкой можно убедиться, что
(3.49)
из формул (3.47) и (3.48) имеем
(3.50)
подставив это выражение в формулу (3.45), получим
(3.51)
Из формул (3.47) следует, что при а = 1, в = 2, с = 3 и
откуда > 0 при а > 1. Таким образом функции в(а) и с(а) монотонно возрастают с ростом а и < 1.
Итак, корни - вещественные. Для дальнейшего анализа перепишем, используя формулы (3.42), (3.43), (3.48), (3.50), соотношение (3.51) в виде
(3.52)
Переходя в равенстве (3.52) к пределу при , получим
Этот предельный переход должен привести к формуле Пуазейля. Следовательно, в формулах (3.51) и (3.52) необходимо выбрать знак «плюс» и окончательно
или с учетом равенства (3.42)
(3.53)
Как следует из формул (3.44) и (3.47), в = в(А), с = с(А). Сравнивая выражение (3.53) с формулой Дарси – Вейсбаха, получим
где - безразмерный параметр,
Таким образом коэффициент гидравлического сопротивления при течении жидкости Бингама – Шведова есть функция двух взаимно независимых критериев подобия А и В, причем В совпадает с в формуле (3.29), а
Численные значения функции приведены в таблице. Можно показать, что при функция может быть аппроксимирована с погрешностью менее 2% выражением
Таблица
1/А |
(А) |
1/А |
(А) |
1/А |
(А) |
1/А |
(А) |
0,0000 |
3,00 |
0,0060 |
3,53 |
0,0250 |
4,25 |
0,0700 |
5,52 |
0,0005 |
3,14 |
0,0080 |
3,63 |
0,0300 |
4,40 |
0,0800 |
5,78 |
0,0010 |
3,20 |
0,0100 |
3,71 |
0,0350 |
4,55 |
0,1000 |
6,29 |
0,0020 |
3,29 |
0,0120 |
3,79 |
0,0400 |
4,70 |
0,1500 |
7,54 |
0,0030 |
3,36 |
0,0140 |
3,87 |
0,0450 |
4,84 |
0,2000 |
8,76 |
0,0040 |
3,42 |
0,1600 |
3,94 |
0,0500 |
4,98 |
0,2500 |
9,97 |
0,0050 |
3,48 |
0,0200 |
4,08 |
0,0600 |
5,25 |
0,3000 |
1 1,18 |
В качестве следующего примера рассмотрим степенную жидкость. Для этой жидкости формула (3.27) принимает вид
Приняв в качестве параметров с независимыми размерностями величины , используя -теорему и учитывая, что , получим
откуда
Безразмерными критериями подобия являются величины
где - аналог числа Рейнольдса для вязкой жидкости.
Для выяснения вида зависимости рассмотрим выражение, следующее из формулы (3.26)
(3.54)
Разрешив соотношение (3.54) относительно , получим
Сравнивая это выражение с формулой Дарси – Вейсбаха, имеем
.