8.2 Способи опису руху точки

Рівняння, що дозволяють визначи­ти положення точки у вибраній системі відліку в будь-який момент часу, назива­ється кінематичними залежностями руху точки.

Ці рівняння мають різний вигляд, залежно від способу визначення руху точ­ки. Для опису криволінійного руху точки можна застосувати один з трьох способів: векторний, координатний та натуральний.

При векторному способі опису руху положення точки у вибраній системі відліку в довільний момент часу визначається радіус-вектором, відносно деякої фіксованої точки О - полюса (рис. 8.1), тобто,

Рис. 8.1

(8.1)

Якщо будувати функцію в різні моменти часу t₁, t₂, ..., t_n, то геометричним місцем кінців М₁, М₂, ..., М_і, ..., М_n, буде крива, яка називається траєкторією рухомої точки (рис. 8.2). От­же, співвідношення (1.1) можна розглядати як рівняння траєкторії точ­ки. Задати вектор, як функцію часу - це означає вміти находити його величину і напрям в будь-який момент часу. Це можна зробити, якщо вибрана будь-яка система координат. Тобто, завдання радіуса-вектора як функції часу, обов'язково передбачає наявність системи координат, але в той самий час не зв'язує нас із конкретною системою координат. Ця обставина дозволяє широко використовувати завдання радіуса-вектора як функції часу для одержання основних кінематичних харак­теристик руху.

Для розв'язування конкретних задач, зазвичай, переходять від вектор­ного способу до координатного або натурального способів завдання руху.

При координатному спосо­бі опису руху положення точки М в довільний момент часу визначається її координатами у вибраній системі коор­динат (декартовій, циліндричній, сфери­чній тощо), незмінно пов'язаній з тілом відліку.

У прямокутній декартовій сис­темі координат положення точки М визначається координатами x,y,z (рис. 8.3) як функціями часу.

Рис. 8.2

(8.2)

Співвідношення (8.2) називаються кінематичними рівняннями руху точки у координатній декартовій формі, їх можна розглядати як рівняння траєкторії точки у параметричній формі (параметром є час t).

Зв'язок між векторним та координатним декартовим спосо­бами опису руху точки задається співвідношенням:

Рис. 8.3 Рис. 8.4

(8.3)

де - орти (одиничні вектори) системи координат Oxyz (рис. 8.3).

У сферичній системі координат, положення точки визна­чається полярним радіусом r , полярним кутом φ між віссю Ох і напрямом ОМ’ (М’ - проекція точки М на площину Оху , кутом θ між ОМ' і ОМ (рис. 8.4). В процесі руху точки величини r,φ,θ змінюються - вони є функціями часу:

(8.4)

Співвідношення (8.4) називають кінематичними рівнян­нями руху точки у координатній сферичній формі. Зв'язок між коор­динатним декартовим і координатним сферичним способами опису руху точки задається співвідношеннями:

(8.5)

У циліндричній системі координат (рис. 8.4) положення точки визначається радіусом р , кутом φ між віссю Ох та ОМ' (азиму­том), координатою z = MM'. В процесі руху ці величини змінюються як функції часу:

(8.6)

Співвідношення (8.6) називають кінематичними рівнян­нями руху точки у координатній циліндричній формі.

Зв'язок між координатним декартовим і координатним цилін­дричним способами опису руху точки такий:

(8.7)

При дослідженні руху точки на площині використовується також поля­рна система координат (рис. 8.5). Поля­рними координатами точки є радіус r і кут φ є процесі руху точки вони є

функціями часу:

(8.8)

Співвідношення (8.8) називається кіне­матичними рівняннями руху точки у координатній полярній формі.

Рис. 8.5

Зв'язок між координатним де­картовим та координатним полярним способами опису руху точки задається співвідношеннями:

(8.9)

Рівняння руху точки (8.2) є одночасно і рівняннями траєкторії точки в параметричній формі, де роль параметра відіграє час t. Для того, щоб одержати рівняння траєкторії у координатній формі, необ­хідно з рівнянь руху виключити час t.

Нехай, наприклад, рух точки в площині ху описаний рівнян­нями:

де а,b,с - постійні величини.

З першого рівняння визначаємо і підставляємо його в друге рівняння . Це рівняння параболи. Однак траєкторією буде не вся парабола, а тільки її права гілка (при t = 0; х = 0; у = с), оскільки час додатний і безперервно зростає (рис. 8.6). Такий метод виключення часу не єдиний. Існують й інші способи. Напри­клад, рух точки описаний рівняннями:

де а,b,ω - постійні величини.

Рис. 8.6

Зведемо до квадрата ліву і праву частини рівнянь і складемо:

Рис. 8.7 Рис. 8.8

Це рівняння еліпса з напівосями а і b (рис. 8.7).

Натуральний спосіб опису руху точки застосовується тоді, коли траєкторія точки заздалегідь відома.

Положення точки у вибраній системі відліку визначають такі елементи (рис. 8.8):

а) просторова крива АВ (траєкторія точки).

б) початок відліку О дугової координати σ.

в) додатний напрям відліку дугової координати;

г) дугова координата σ на кривій.

В процесі руху точки М дугова координата σ змінюється за часом:

(8.10)

Співвідношення (8.10) називається кінематичним рівнян­ням руху точки у натуральній формі.

Не можна змішувати кінематичні рівняння з рівнянням траєк­торії. Крива, побудована на площині (σ, t) та виражає залежність називається графіком руху. Якщо рух точки проходить в сторону зростання дуги σ, то диференціал дуги буде додатним, якщо рух проходить в бік зменшення дуги, то dσ буде від'ємним. Відзначимо, що шлях S, який проходить точка, весь час буде зростати і, отже, додатний, тобто,

Встановимо зв'язок між координатами, декартовим і натура­льним способами опису руху точки.

Нехай рух точки описаний рівняннями (8.2). Виключаючи з цих рівнянь час t. одержимо рівняння траєкторії. Знайдемо тепер за­кон руху .

З курсу диференціальної геометрії відомо, що елемент дуги траєкторії dσ визначається виразом:

(8.11)

де dx,dy,dz - диференціали координат точки.

тоді формулу (1.12) можна записати у вигляді:

(8.11а)

Інтегруючи цей вираз в інтервалі від t = О (початок руху) до будь-якого моменту t, одержимо закон руху:

^(8.12)

Знак „+" перед інтегралом слід вибирати в тому випадку, коли рух проходить в бік додатного відліку дугової координати, та „-" при русі точки в бік від'ємного відліку дугової координати.