- •8.1 Вступ до кінематики
- •8.2 Способи опису руху точки
- •8.3. Похідна векторної функції за скалярним аргументом
- •8.4. Швидкість точки
- •8.4.1. Векторний спосіб визначення швидкості. Годограф швидкості
- •8.4.2. Координатний спосіб визначення швидкості
- •8.4.3. Натуральний спосіб визначення швидкості
- •8.5. Прискорення точки
- •8.5.1 Векторний спосіб визначення прискорення
- •8.5.2. Координатний спосіб визначення прискорення
- •8.5.3 Натуральний спосіб визначення прискорення
- •8.5.3.1 Деякі відомості з диференціальної геометрії
- •8.3.2. Розкладання вектора прискорення точки за осями натурального тригранника (нормальна і дотична складові прискорення)
- •8.6. Окремі випадки руху точки при натуральному способі опису руху
- •8.6.1. Рівнозмінний рух точки
- •8.6.2 Прямолінійний рух точки
- •8.7. Методичні вказівки до розв'язання задач
8.4.2. Координатний спосіб визначення швидкості
Нехай, кінематичні залежності руху точки, задані координатним декартовим способом (8.2). Тоді формулу (8.18) можна записати так:
(8.19)
де (8.20)
Є проекції швидкості точки на осі нерухомої декартової системи координат, що дорівнюють першим похідним за часом від координат точки.
З урахуванням (8.20) вираз (8.19) можна записати у вигляді:
(8.21)
або
(8.22)
Рис. 8.12 Рис. 8.13
де vx,vy,vz - складові вектора вздовж координатних осей (рис.8.12).
Модуль та напрям швидкості визначаються за формулами:
(8.23)
(8.24)
За рівностями (8.20) - (8.24) визначається вектор швидкості точки координатним декартовим способом.
Розглянемо координатний полярний спосіб визначення руху точки. При цьому кінематичні залежності руху точки задаються функціями (8.9).
Введемо орти: , спрямований вздовж радіуса-вектора у бік зростання , та - повернений відносно вектора на кут у бік зростання кута φ (рис. 8.13).
Одиничні вектори і можуть бути подані у вигляді
Диференціюючи за часом, одержимо:
(8.25)
аналогічно (8.26)
Радіус-вектор , що визначає положення точки, може бути представлений у вигляді
При русі точки змінюється як модуль, так і напрямок радіуса-вектора , отже, і і є функціями часу. На основі (8.18) маємо:
Використовуючи вираз (8.26), одержимо:
(8.27)
Це розкладання вектора швидкості точки на дві взаємно перпендикулярні складові, які називаються радіальною та поперечною (трансверсальною) швидкостями. Модуль швидкості точки визначається за формулою:
(8.28)
8.4.3. Натуральний спосіб визначення швидкості
Нехай точка М рухається по певній кривій. За проміжок часу ∆t точки переміститися з положення М в положення М1 . Дуга MM1 = ∆σ буде більше нуля, якщо точка рухається в сторону додатного відліку дуги (рис. 14,а) і , якщо рух проходить в протилежний бік (рис. 8.14,6).
Скориставшись виразами (8.14) і (8.18), маємо:
Перепишемо це рівняння у вигляді:
Рис. 8.14
Оскільки границя відношення дуги до стягуючої її хорди дорівнює за модулем одиниці, а граничне положення січної ММ1 співпадає з напрямком до дотичної до кривої в точці М , то
де - одиничний вектор, направлений по дотичній до кривої.
Направлений одиничний вектор дотичної завжди в сторону додатного відліку дуги σ. Дійсно, якщо то вектор направлений в сторону (рис. 8.14.а), а при вектор направлений в сторону, протилежну (рис. 8.14,6). В обох випадках цей вектор, а отже і його границя , направлений в сторону зростання дуги σ.
Приймаючи до уваги, що
маємо
Проектуючи вектор швидкості на напрям , одержимо
, отже
(8.29)
Очевидно, що v𝜏 = v , якщо рух точки проходить в бік додатного відліку дуги і v𝜏 = -v, якщо рух точки проходить в протилежну сторону, отже
Так як шлях, що проходить точка, завжди додатний, то елемент шляху
і, отже, модуль швидкості можна визначити за формулою: