8.6. Окремі випадки руху точки при натуральному способі опису руху

8.6.1. Рівнозмінний рух точки

Якщо - постійна величина, то рух точки називається рівнозмінним.

Встановимо закон зміни швидкості і закон руху точки по тра­єкторії при рівнозмінному русі. Оскільки.

, то і

Сталу інтегрування С₁, знайдемо, виходячи з початкових умов. Нехай, наприклад, при t = О,, тоді . Закон зміни швидкості прийме вигляд:

(8.52)

Так як

Звідки, інтегруючи, одержимо:

Нехай, наприклад, при t = 0 , тоді і закон руху точки по заданій траєкторії буде мати вигляд:

^(8.53)

8.6.2 Прямолінійний рух точки

Якщо траєкторія точки є прямою лінією, то направляючи одну з координат осей, наприклад, вісь х, вздовж цієї прямої, ми повністю визначимо положення точки заданням її абсциси як функції часу, тоб­то х = x(t) . Проекції швидкості і прискорення точки на вісь х згідно формул (8.20) і (8.33) будуть

Модулі швидкості і прискорення відповідно рівні:

Якщо , точки проходить в бік додатнього напрямку осі x. Якщо при цьому, то рух буде прискорений, якщо ж то рух сповільнений. При точка рухається в напрямку протилежному додатному напрямку осі x. Якщо при цьому, то рух сповільнений, якщо ж , то рух прискорений. Як приклад, розглянемо прямолінійний рух точки. За законом

,

де α,ω,ε - постійні величини.

Рух точки за таким законом називають гармонійним.

Величина α, що дорівнює максимальному відхиленню точки від положення х = 0 , називається амплітудою коливань; називається фазою і ε - початковою фазою коливань.

Швидкість і прискорення точки, що здійснює гармонійне ко­ливання, відповідно будуть

З формули для випливає, що прискорення точки завжди направлено до початку координат і за модулем пропорційне відхилен­ню точки від початку координат.

Рух за гармонійним законом буде періодичним рухом, тобто через рівні проміжки часу буде повністю повторюватись.

Найменший проміжок часу, після закінчення якого рух повто­рюється, називається періодом коливань. Якщо позначити через Т період коливань, то буде справедлива рівність:

,

звідки

Кількість коливань за одиницю часу називається частотою ко­ливань і дорівнює . Якщо час вимірюється в секундах, то час­тота вимірюється в герцах. Кругова частота дорівнює кількості коли­вань за одиниць часу.

Питання для самоконтролю

1. Що означає рух точки?

2. Як визначається рівняння траєкторії при координатному способі опису руху?

3. Яка існує залежність між елементом дугової координати і елемен­том шляху?

4. Чи можна, знаючи закон руху точки по траєкторії, визначити тра­єкторією?

5. Коли перед інтегралом для визначення дугової координати необ­хідно брати "+" і коли "-"?

6. Що називається годографом вектора?

7. Як направлена похідна вектора за скалярним аргументом?

8. Яка існує залежність між радіусом-вектором точки, що рухається. і вектором швидкості цієї точки?

9. Чому дорівнюють проекції швидкостей на декартові осі координат?

10. Рух точки описаний полярними координатами. Як виражаються проекції швидкості на радіальний і поперечний напрямок?

11. Як виражається модуль вектора швидкості точки при натураль­ному способі опису руху?

12. Яка існує залежність між радіусом-вектором і прискоренням точки?

13. Чому дорівнюють проекції прискорення на осі декартової систе­ми координат?

14. Які осі називаються натуральними? Що таке стична площина?

15. Чому дорівнюють проекції прискорення на дотичну, головну но­рмаль і бінормаль?

16. Який напрямок має вектор ?

17. Яку зміну швидкості характеризують нормальне і дотичне при­скорення?

18. Як визначається кінематичний радіус кривини?